Вариант 26

1. Даны вершины треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведенной из вершины прямого угла.

2. Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5.

3. Основание равнобедренного треугольника имеет уравнение. Одна из боковых сторон имеет уравнение . Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).

4. Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями и , диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.

5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей, , до плоскости, проходящей через точки M₁(1; 4; 2), M₂(2; 3; 1), M₃(1; 1; 2).

6. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 3; 1) параллельно плоскости . Плоскость β проходит через точку M₂(5; -1; 2) и содержит ось . Найти угол между плоскостями α и β.

7. Плоскость α проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси отрезок вдвое больше, чем на оси и втрое больше, чем на оси . Плоскость β задана уравнением . При каком m плоскости будут перпендикулярны?

8. Написать каноническое уравнения прямой .

9. Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой .

10. Найти периметр треугольника с вершинами M₁(2; 4; 5), M₂(3; 8; 13), M₃(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M₁M₂ и M₁M₃.

11. Через точку M₁(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой .

Вариант 27

1. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).

2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к оси под углом 135º.

3. Вычислить тангенс острого угла между прямыми , .

4. На прямой найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой .

5. Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(3; 5; 1) и M₂(4; 2; 3) и параллельной вектору . Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до построенной плоскости.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

8. Написать каноническое уравнения прямой .

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой . При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой .

10. Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость .

11. При каких значениях A и B прямая лежит на плоскости . При А=1, В=-2. Найти угол между прямой и плоскостью.