- •Лекція №9 Тема: Рівняння вищих порядків. Метод степеневих рядів.
- •Метод степеневих рядів.
- •Лекція № 10-11
- •Тема: Лінійна залежність та незалежність функцій
- •Формула Ліувіля-Остроградського
- •Лекція № 12
- •Лекція № 13
- •Випадок простих коренів
- •Випадок кратних коренів
- •Лекція № 14
- •Лекція № 16-17
- •Лекція № 18
Формула Ліувіля-Остроградського
Нехай n- лінійно-незалежних частинних розв’язків рівняння (2). Тоді це рівняння можна представити у вигляді:
(4)
Дійсно рівняння (4) еквівалентне рівнянню (2). Оскільки підставивши в нього довільний розв’язок рівняння (1) отримаємо в лівій частині (4) визначник, що має 2 однакових рядки. Розкладемо ліву частину рівняння (4) за елементами першого рядка. Отримаємо:
Тоді рівняння (4) врахувавши, що - (визначник Вронського),
.
Оскільки це рівняння тотожне рівнянню (2), то прирівнюючи коефіцієнти при однакових похідних матимемо:
; , ... , , ... , ;
Знайдемо залежність від W.
Озн. Похідною визначника n-ого порядку зветься сума n визначників n-ого порядку перший рядок (стовпець) першого визначника є похідні елементів першого рядка, інші без змін і.т.д., n-ий рядок (стовпець) n-ого визначника складається з похідних елементів цього рядка, а інші без змін. Візьмемо похідну від W по х:
Отже , . Вважаючи функцію заданою, а Вронський W невідомий то інтеграл рівняння відносно W дістанемо:
(5),
де с – довільна стала. Якщо задати початкову умову , то матимемо:
(6).
Формули (5) і (6) дають змогу знаходити визначник Вронського фундаментальної системи розв’язків рівняння (2) не маючи ще цієї системи, звуть формулами Ліувіля-Остроградського.
Приклад:
Знайти диференціальне рівняння, для якого функції , скл. ФСР (фундаментальна система розв’язку).
Розв’язок:
Використаємо (4):
; ,
- шукане диференціальне рівняння.
Загальним розв’язком неоднорідного рівняння (1) є сума будь-якого його частинного розв’язку a(x) і загального розв’язку U(x) однорідного рівняння (2):
; або y(x) = U(x) + V(x),
Дійсно:
Теорема 4:
Частинний розв’язок V(x) рівняння: (7) можна подати у вигляді суми:
, де - відповідно розв’язки рівнянь ;
Доведення:
Дійсно , . Додавши отримаємо:
.
Отже сума є розв’язком рівняння (7).
Властивість суперпозиції розв’язків:
Якщо функції є розв’язками рівняння , , тобто , то функція , - const є розв’язком рівняння .
Теорема 5:
Якщо диференціальне рівняння (2) має розв’язок виду U(x) + V(x), то кожна з функцій U(x) і V(x) є розв’язком диференціального рівняння (7).
Доведення:
Дійсно за адитивною властивістю оператора маємо:
.
Звідси слідує, що L [ U(x) ] = 0, L [ V(x)] = 0.
Якщо рівняння L [y] = e(x) і (x), де всі - дійсний має розв’язок , то дійсна частина U(x) і уявна V(x) є відповідно розв’язками рівнянь
L [y] = f(x) і L [y] = (x).
(Доведемо аналогічно до попереднього випадку).
Лекція № 12
Тема: Метод варіації довільної сталої (Лагранжа).
Розв’язування неоднорідних лінійних
диференціальних рівнянь n-го порядку.
Відомо див. лекцію 10-11 що загальний розв’язок неоднорідного рівняння (1) (Л. 10-11), завжди можна знайти якщо відомо загальний розв’язок рівняння (2) (Л. 10-11) і будь-який частинний розв’язок рівняння (1) (Л. 10-11).
Для знаходження частинних розв’язків неоднорідного рівняння існує метод варіації довільної сталої. Ще його наз. метод Лагранжа.
Нехай маємо загальний інтеграл рівняння (2) (Л. 10-11).
(1) де - довільні дійсні сталі.
Частинний розв’язок рівняння (1) шукаємо у вигляді (1) вважаючи, що - є довільні функції від x ( їх нам потрібно конкретно знайти ).
. Диференціюємо по x дане рівняння:
.
Вважаємо, що має виконуватись:
Тоді:
Диференціюємо отриманий вираз по x.
Знову вважатимемо такими, що
Тоді:
Підставивши отримані значення похідних невідомої функції у рівняння (1) (Л. 10-11) і зробивши елементарні алгебраїчні перетворення. Матимемо:
Як бачимо вирази при тотожно рівні нулю, оскільки є лінійно-незалежними розв’язками рівняння (1) (Л. 10-11). Отже функції повинні одночасно задовольняти записані вище умови. Тобто маємо систему:
Отримали систему n лінійних рівнянь з n-невідомими. Оскільки визначник даної системи є визначником Вронського для функцій , а ці функції є лінійно-незалежні, то він не рівний нулю, а отже наша система має єдиний розв’язок.
Розв’язавши систему матимемо:
Знайдемо невідомі коефіцієнти , тоді:
, де - довільні сталі.
Тоді частковий розв’язок рівняння (1) (Л. 10-11), матиме вигляд:
Тепер ми можемо записати загальний розв’язок рівняння (1):
Приклад:
Знайти загальний розв’язок рівняння ( використати метод варіації довільної сталої ). Складемо відповідне однорідне рівняння.