Исходные данные

Среднемесячный доход, руб.	Численность, чел.
до 500	25
500 – 1000	115
1000 – 1500	243
1500 – 2000	251
2000 – 2500	118
свыше 2500	31
Итого	783

Построить теоретический закон распределения в предположении, что случайная величина Х (генеральная совокупность) распределена по нормальному закону.

Решение

Так как параметры нормального распределения (a, σ) неизвестны, то заменим их соответствующими несмещенными и состоятельными точечными оценками (). Рассчитаем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение (Для точности расчетов будем использовать исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение , получаемое на основе исправленной выборочной дисперсии .).

Таблица 3

Расчет выборочных характеристик

Интервалы [хi; хi+1]	Середина интервала	ni
до 500	250	25	6250	40006028,896
500 – 1000	750	115	86250	67301998,568
1000 – 1500	1250	243	303750	17065497,424
1500 – 2000	1750	251	439250	13860721,690
2000 – 2500	2250	118	265500	63745442,342
свыше 2500	2750	31	85250	47281486,049
Итого	-	783	1186250	249261174,968

.

.

С учетом рассчитанных точечных оценок параметров распределения функция плотности вероятностей и функция распределения будут иметь соответственно следующий вид:

,

.

При формировании статистического распределения выборки используются частоты, определенные по выборочным данным, поэтому их называют также эмпирическими.

При построении теоретического закона распределения исследуемой случайной величины используют теоретические частоты, т.е. частоты определенные расчетным способом.

Рассмотрим механизм расчета теоретических частот для дискретных и непрерывных случайных величин.

1. Дискретные случайные величины

Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина Х распределена по некоторому дискретному закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т.е. находят теоретически частоту каждого из наблюдаемых значений в предположении, что величина Х распределена по предполагаемому закону.

Выравнивающими (теоретическими) называют частоты , определяемые расчетным способом:

,

где n – объем выборки;

P_i – вероятность наблюдаемого значения x_i, вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Пример 3. По данным примера 1 определить теоретические частоты в предположении, что случайная величина Х (генеральная совокупность) распределена по закону Пуассона. Построить полигон эмпирических и теоретических частот.

Решение

Пользуясь полученной в примере 1 формулой, найдем соответствующие вероятности при k= x_i, затем, перемножив их на n, получим соответствующие теоретические частоты. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 4