5. Метод корреляции

Пример решения задачи на выявление корреляционной зависимости и посторенние регрессии.

Условие задачи Выполнены измерения признаков, характеризующих уровень запыленности на рабочих местах работников и температуру в помещении:

Измерение	Температура воздуха Со	Запыленность мг/м3
Иванов	20	0,2
Казаков	21	0,25
Сидоров	21	0,24
...	19	0,08
...	19	0,08
...	19	0,07
...	22	0,3
...	22	0,28
...	25	0,33
...	24	0,31
...	21	0,26
...	21	0,27

Задание: Определить силу и направление зависимости между температурой окружающей среды и уровнем запыленности помещения с помощью:

а) таблицы;

б) графического изображения взаимосвязи между признаками;

в) коэффициента корреляции Пирсона;

в) коэффициента корреляции Спирмена.

Решение:

а) Требуется выполнить ранжирование вариационных рядов и занести их в таблицу как показано в таблице 1.

Таблица 1

Ранжированные вариационные ряды

№ варианты	Параметр x (температура воздуха, Co)	Параметр y (запыленность, мг/м3)
1	19	0,07
2	19	0,08
3	19	0,08
4	20	0,2
5	21	0,24
6	21	0,25
7	21	0,26
8	21	0,27
9	22	0,3
10	22	0,28
11	24	0,31
12	25	0,33

Вывод: в таблице наблюдается совместное прямое изменение двух 2-х изучаемых параметров.

б) График взаимосвязи между признаками представлен на Рис.1.

Рис. 1 Зависимость уровня запыленности и температуры воздуха в помещении.

Вывод: из графика видно, что зависимость изменение двух 2-х изучаемых параметров приближенно оценивается как линейная.

в) Вычисление и оценка коэффициента корреляции методом Пирсона и Спирмена.

Корреляция по Пирсону
Варианта		Темпера-тура воздуха (x)	Запылен-ность мг/м3 (y)	dx	dy	dx*dy	dx2	dy2
1		19	0,07	2,2	0,153	0,330	4,7	0,0233
2		19	0,08	2,2	0,143	0,309	4,7	0,0203
3		19	0,08	2,2	0,143	0,309	4,7	0,0203
4		20	0,2	1,2	0,023	0,026	1,4	0,0005
5		21	0,24	0,2	-0,018	-0,003	0,0	0,0003
6		21	0,25	0,2	-0,028	-0,005	0,0	0,0008
7		21	0,26	0,2	-0,038	-0,006	0,0	0,0014
8		21	0,27	0,2	-0,048	-0,008	0,0	0,0023
9		22	0,3	-0,8	-0,078	0,065	0,7	0,0060
10		22	0,28	-0,8	-0,058	0,048	0,7	0,0033
11		24	0,31	-2,8	-0,088	0,248	8,0	0,0077
12		25	0,33	-3,8	-0,108	0,412	14,7	0,0116
Средняя (М) =		21,2	0,223	Сумма (=		1,725	39,7	0,0976
n=		12
rxy=dxdy/dxdy			rxy=	0,88

Вывод: зависимость изменения двух 2-х изучаемых параметров является сильной прямой и статистически достоверной при уровне значимости p<0,05.

г) Вычисление и оценка коэффициента корреляции методом Спирмена по условию задачи в предыдущем примере.

Подсчет рангов: Каждому из 12 чисел присваивается порядковый номер по возрастанию в соответствии с его значением. При этом наличие повторяющихся чисел влияет на ранг последующих чисел. Например, если в списке целых чисел трижды встречается число 19, имеющее ранг 1, число 20 будет иметь ранг 4 (ни одно из чисел не будет иметь ранги 2 и 3).

Корреляция по Спирмену
Варианта	Температура воздуха (x)	Запылен-ность мг/м3 (y)	Ранг x	Ранг y	dr = ранг x- ранг y	dr2
1	19	0,07	1	1	0	0
2	19	0,08	1	2	-1	1
3	19	0,08	1	2	-1	1
4	20	0,2	4	4	0	0
5	21	0,24	5	5	0	0
6	21	0,25	5	6	-1	1
7	21	0,26	5	7	-2	4
8	21	0,27	5	8	-3	9
9	22	0,28	9	9	0	0
10	22	0,3	9	10	-1	1
11	24	0,31	11	11	0	0
12	25	0,33	12	12	0	0
				=		17
ρ = 1 - 6Σ d2 / n(n2-1)		ρ =	0,94
m = √ ((1- ρ2) / n-2 )		m=	0,107
t = ρ /m		t=	8,7575

Вывод: зависимость изменения двух 2-х изучаемых параметров является сильной прямой и статистически достоверной при уровне значимости p<0,05.