2.4.3. Рівняння для ідеальної рідини

Застосував закон збереження матерії до струйки рідини, Л.Ейлер вивів і в 1756 р. опублікував рівняння постійності масового (об'ємного при ρ = const) розходу або рівняння нерозривності для ідеальної рідини. Рівняння нерозривності встановлює залежність між швидкістю течії рідини в струйке V і площею поперечного перетину струйки S. Виділимо в струйці ідеальної рідини довільний перетин S (рис. 2.7). За 1 секунду через цій перетин пройде деякий об'єм рідини, який є об'ємним розходом Q_υ.

Рис. 2.7. До виведення рівняння нерозривності.

Оскільки рідина ідеальна, стискування і розширення її виключене. Розхід через бічну поверхню струйки неможливий (з визначення струйки), тому для нерозривності струйки необхідно і достатньо, щоб об'ємний розхід рідини Q_υ через всі перетини струйки був постійним Q_υ = const або S·V = const. Звідки витікає, що при сталому русі ідеальної рідини швидкість обернено пропорційна площі поперечного перетину струйки V = const / S.

З рівняння видно, що якщо площа поперечного перетину стуйки (потоку) зменшується у декілька разів, то швидкість течії в це ж число разів збільшується і, навпаки. Ця закономірність справедлива для малих швидкостей течії рідини і повітря. Збільшення швидкості все більше впливатиме на зміну густини. Наприклад, при надзвуковій швидкості течії повітря зменшення його густини зі зростанням швидкості стає таким значним, що змінюється якісна залежність між змінами поперечних перетинів труби і змінами швидкості.

Рівняння нерозривності виражає закон нерозривності або закон постійності масового розходу рідин і газів. Закон нерозривності дуже часто підтверджується явищами природи. Ріка на мілинах, перекочуваннях, в теснинах завжди має велику швидкість течії. В ущелинах дмуть сильні вітри. У техніці закон нерозривності використовують у форсунках, пульверизаторах, соплових апаратах, аеродинамічних трубах.

Рівняння Бернуллі, що виражає закон збереження енергії для рухомого ідеального рідкого середовища, назване по імені академіка Петербурзької академії наук Д. Бернуллі. Вперше воно було опубліковане Д. Бернуллі в 1738 р. в праці „Гідродинаміка”. Рівняння Бернуллі встановлює залежність між тиском р і швидкістю V струйки (потоку) для ідеальної рідини (газу).

Розглянемо струйку ідеальної рідини в припущенні, що обміну енергією між струйкою і навколишнім середовищем немає (струйка нестислива). На підставі закону збереження енергії можна стверджувати, що енергія струйки в усіх перетинах постійна:

Е₁ = Е₂ = Е₃ = Е₄ = ,.. = Е_n = const.

Повна енергія струйки Е складається з кінетичної Е_кін і потенційної Е_пот. Отже, попереднє рівняння можна записати як

Е = Е_кін + Е_пот = const.

Кінетична енергія повітря, що пройшло через довільний перетин струйки за час Δt, дорівнює: Е_кін = m·. Після підстановки m = Q_m Δt в цей вираз отримаємо

Е_кін = Q_m·Δt·,

де Q_m – масовий розхід повітря;

Δt – час руху струйки.

Потенційна енергія складається з енергії положення Е_G, енергії тиску Е_т і внутрішній тепловій енергії Е_вн, тобто Е_пот = Е_G + Е_т + Е_вн.

Енергія положення - це здатність рідини або повітря проводити роботу при зміні висоти центру маси. При обтіканні літака потоком повітря висоту центрів маси перетинів струйок можна вважати за постійну

Е_G = G·h = m·g·h = Q_m·Δt·g·h = const,

де G - вага повітря;

h – відстань від центру маси даного перетину струйки до деякої горизонтальної плоскості;

g - прискорення вільного падіння.

Енергія тиску повітря, що проходить через довільний перетин струйки за час Δt, дорівнює роботі сили тиску А_д за цей час (рис. 2.8):

Е_т = А_д = p·S·V·Δt,

де р – тиск в даній течії струйки;

S – площа пересічного перетину струйки;

V Δt - шлях частинок за час Δt.

Рис. 2.8. До виведення рівняння Бернуллі.

Помножимо і розділимо цей вираз на густину повітря ρ

Е_т = А_д = p·S·V·Δt·.

Враховуючи, що S·V·ρ = Q_m, то

Е_т = Q_m·Δt·.

Внутрішня енергія вимірюється кількістю тепла і характеризує здатність повітря (або іншого газу) проводити механічну роботу при зниженні температури, яке можливе за рахунок теплообміну з навколишнім середовищем, або розширення (зменшення густини) повітря. Оскільки за умовою теплообмін із зовнішньою середою відсутній, а ідеальна рідина нестислива, то температура, а отже, і внутрішня енергія газу у всіх перетинах струйки залишаються незмінними

Е_вн = const.

Після підстановки виразів для всіх видів енергії повна енергія потоку Е запишеться як:

Е = Е_кин + Е_пот = Е_кин + Е_G + Е_т + Е_вн = Q_m·Δt· + const + Q_m·Δt + const = const.

Припустимо, що Q_m·Δt = const, приводимо рівняння до наступного вигляду:

+ = const.

Помноживши обидві частки цього рівняння на ρ = const, отримаємо остаточну форму рівняння Бернуллі для ідеальної рідини:

р + = const,

де р – статичний тиск;

- швидкісний напір.

Статичний тиск рідини або газу рівномірно передається на всі боки. Тому тиск, що діє на поверхню, паралельну потоку, є статичним. Статичний тиск визначає потенційну енергію потоку (рис. 2.9).

Швидкісний напір є додатковий тиск на поверхню, перпендикулярну руху потоку, і визначає його кінетичну енергію (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Фізична суть статичного тиску і швидкісного натиску.

Закон Бернуллі для ідеальної рідини читається так: „При сталому русі ідеальної рідини сума статичного тиску і швидкісного напору є величина постійна в будь-якому перетині даної струйки”.

Таким чином, встановлюється зв'язок між швидкістю в даному перетині струйки і тиском в цьому ж перетині. Як випливає з рівняння, чим більше швидкість повітря в струйці, тим менше його тиск, і навпаки. Закон Бернуллі дає пояснення багатьом явищам природи.

На законі Бернуллі заснований принцип виміру швидкості польоту (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Вимір швидкості польоту.

Приймач повітряного тиску (ППТ) складається з двох трубок. Внутрішня трубка 1 є приймачем повного тиску р + , а зовнішня трубка 2 приймає статичний тиск р. Обидва штуцери ППТ сполучені з покажчиком швидкості 6, розташованим в кабіні пілота.

Під дією різниці тиску, яка дорівнює швидкісному напору, мембранна коробка 4, що є чутливим елементом покажчика швидкості, деформується і через проміжну передачу пересуває стрілку 5 приладу, шкала 3 якого градуюється в одиницях швидкості. Градуювання шкали покажчика швидкості проводиться для умов польоту у землі, тобто при Н_о = 0 м і ρ = 1,225 кг/м³.

Зміряна швидкість називається приладовою (V_прил.). Вона визначає величину аеродинамічних сил, що діють на літак. З підйомом на висоту, у зв'язку із зменшенням густини повітря, свідчення покажчика швидкості виявляються невірними.

Повітряна (істинна) швидкість літака V_н на висоті Н більша, ніж швидкість, що показується приладом, і визначається таким чином:

V_н = V_прил.·.

Рівнянням Бернуллі користуються для визначення граничної швидкості течії потоку. Зі збільшенням швидкості тиск в потоці зменшується і при деякому її значенні потік виявляється на межі розриву. Швидкість, відповідна цьому стану, називається граничною швидкістю течії (V_гран. на рис. 2.11).

Рис. 2.11. Кавітація рідини.

Запишемо рівняння Бернуллі для двох перетинів, між якими швидкість змінюється від V_о = 0 до V = V_гран., а тиск змінюється від р_о до р = 0:

р_о + = р + .

Підставив в це рівняння V_о = 0 и р = 0, отримаємо: р_о = , звідки

V_гран. = .

Експерименти і практичний досвід свідчать про те, що при досягненні V_гран. настає якісно нове явище, зване кавітацією. Кавітація супроводжується утворенням розривів і порожнин в струмені і гідравлічними ударами при їх з'єднанні і замиканні на стінку труби. При цьому виникають великі втрати енергії потоку, збільшується опір.

При експлуатації літаків кавітація може виникати в рідинних системах (гідросистемі, паливній системі) при польоті на великих висотах, оскільки V_гран. зменшується при падінні атмосферного тиску.

При кавітації знижується К.П.Д. гідравлічних механізмів і машин (насосів, гребних гвинтів), збільшуються корозія і руйнування матеріалів. Тому при проектуванні паливних, масляних, гідравлічних літакових систем доводиться визначати граничну швидкість і приймати спеціальні заходи для виключення цього небезпечного явища.

Кавітація може виникнути і як наслідок неправильного технічного обслуговування, недбалого поводження з технікою, наприклад - зім'яття і різкий перегин трубопроводів, забруднення дренажу і тому подібне.