ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время математические методы статистики применяются при решении самых разнообразных естественных, технических, экономических задач. В связи с этим необходимо при подготовке высококвалифицированных работников экономических, товароведных и инженерно-технологических специальностей обеспечить наличие у них необходимых знаний и умений по использованию статистических методов обработки и анализа результатов наблюдений. Приобретение знаний и навыков математического исследования на основе анализа статистических данных позволит устанавливать и исследовать количественные закономерности, которые выражаются в виде связей и зависимостей различных изучаемых показателей. Такие зависимости могут быть получены путем обработки реальных статистических данных, получаемых в ходе экономических и товароведных исследований.

Методические указания к выполнению расчетных работ по математической статистике предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей. Они включают 25 вариантов заданий для выполнения расчетных работ. В приложениях даны необходимые таблицы.

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 1

Получение статистических распределений выборки и определение выборочных характеристик

Цель работы

Овладеть методами:

а) сбора, систематизации и первичной обработки статистических данных;

б) получения выборочных характеристик статистического распределения и оценивания параметров генеральной совокупности по данному распределению.

Выполнению лабораторной работы № 1 предшествует изучение соответствующих разделов «Математической статистики» и может быть использована следующая литература:

[1. –гл. 15: § 1, 2-8; гл. 16: § 1-5, 8-10, 13].

[2. –гл. 6: § 1-4; гл. 7: § 1].

[3. –гл. 25: 25.1-25.5; гл. 27: 27.1-27.4, 27.6].

[4. –гл. 8: § 1,2, 5; гл. 9: §1-4].

[5. –гл. VI : § 1].

Последовательность выполнения работы:

1. Провести наблюдение над некоторой случайной величиной. Вид случайной величины задаётся преподавателем. Простым случайным повторным или бесповторным отбором данных собрать результаты наблюдения над изучаемой случайной величиной. Выборка должна иметь объем не менее 100 единиц.

2. Наблюдаемые значения изучаемого признака представить в виде интервального вариационного ряда. Построить таблицу для подсчета частот по интервалам и по ней составить статистическое распределение для случайной величины.

3. Построить гистограмму плотности относительных частот выборки.

4. Составить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение частот и относительных частот выборки.

5. Построить полигон относительных частот.

6. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

7. Найти точечные характеристики выборки: выборочную среднюю или , выборочную дисперсию или , выборочное среднее квадратическое отклонение или , выборочные коэффициенты асимметрии или и эксцесса или .

Теоретический материал

1. Статистическая обработка результатов наблюдений в случае выборки большого объема начинается с группировки значений признака . С этой целью наблюдаемые значения признака разбиваются на частичные интервалы, длина которых находится по формуле:

,

где - объём выборки, и – соответственно наибольшее и наименьшее наблюдаемые значения признака. Полученное значение следует округлить, сохраняя столько разрядов, сколько содержится в записи значений изучаемого признака.

2. Таблицу для подсчета частот строим по интервальному вариационному ряду. За начало первого частичного интервала примем . Правый конец этого интервала будет равен . Все последующие значения правых границ частичных интервалов получаются путем прибавления шага к значению левого конца, а левый конец совпадает с правым предыдущего интервала. Перебирая все выборочные данные, подсчитываем частоты - количество значений изучаемого признака, попавших в каждый интервал. По сгруппированным данным строим статистические распределения частот , относительных частот и плотности относительных частот вариационного ряда. Сумма относительных частот должна быть равной единице, т.е. .

3. Наглядное изображение эмпирического распределения можно представить в виде гистограммы (частот, относительных частот или плотности относительных частот), которая состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников. Основанием (шириной) прямоугольников являются частичные интервалы, а высотами могут служить соответственно частоты, относительные частоты или плотности относительных частот.

4. Дискретный вариационный ряд строится по интервальному вариационному ряду. За значения вариант выбираются середины частичных интервалов, т.е. с соответствующими частотами или относительными частотами.

5. Полигоном частот или относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами соответственно или , .

6. Эмпирическая функция распределения определяет для каждого значения относительную частоту события : , где -число выборочных значений, меньших , -объём выборки. Функция представляет собой ступенчатую кусочно-постоянную линию и служит для оценки теоретической функции распределения всей генеральной совокупности.

7. К точечным характеристикам статистического распределения относятся:

1. выборочное среднее ;

2. выборочная дисперсия ;

3. выборочное среднее квадратическое отклонение ;

4. выборочный коэффициент асимметрии

;

5. выборочный коэффициент эксцесса

.

Оформление лабораторной работы № 1

1. Пусть требуется изучить показатель товарооборота в процессе работы магазинов одного типа в пределах некоторого региона. Предположим, что в результате выборочного обследования были собраны данные о товарообороте 100 однотипных магазинов. Наблюдаемые значения признака - товарооборот магазина (ден. ед.) представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Данные о товарообороте магазинов

N	X	N	X	N	X	N	X	N	X
1	25	21	53	41	76	61	80	81	30
2	42	22	47	42	20	62	49	82	72
3	79	23	26	43	52	63	78	83	50
4	36	24	33	44	65	64	28	84	41
5	65	25	44	45	39	65	54	85	60
6	53	26	24	46	60	66	67	86	66
7	74	27	73	47	46	67	18	87	65
8	21	28	31	48	87	68	18	88	75
9	82	29	51	49	64	69	63	89	71
10	48	30	68	50	52	70	28	90	40
11	61	31	43	51	35	71	72	91	90
12	56	32	15	52	45	72	47	92	60
13	75	33	57	53	26	73	47	93	68
14	34	34	41	54	38	74	40	94	42
15	67	35	51	55	52	75	56	95	29
16	46	36	37	56	38	76	55	96	51
17	41	37	45	57	63	77	71	97	42
18	17	38	35	58	78	78	35	98	69
19	29	39	30	59	36	79	39	99	53
20	63	40	60	60	48	80	59	100	49

В нашем примере , , . За число интервалов берется одно из ближайших целых чисел (т.к. наблюдаемые значения записаны в целых числах), т.е. .

1. Составляем таблицу для подсчета частот (таблица 2). За начало первого частичного интервала примем =15-5=10. Правый конец этого интервала будет равен =15+5=20. Все последующие значения правых границ интервалов получаем по формуле .

Таблица 2 – Подсчет частот по интервалам

Частичные интервалы	Подсчет частот	Частоты
(10-20]		5
(20-30]		11
(30-40]		15
(40-50]		20
(50-60]		19
(60-70]		14
(70-80]		13
(80-90]		3
	Контроль	100

По сгруппированным данным строим статистические распределения частот , относительных частот и плотности относительных частот вариационного ряда (таблица3). Для контроля просуммируем относительные частоты. В нашем примере .

.

Таблица 3 – Статистическое распределение выборки

Частичные интервалы	(10-20]	(20-30]	(30-40]	(40-50]	(50-60]	(60-70]	(70-80]	(80-90]
Частоты	5	11	15	20	19	14	13	3
Относит. частоты	0.05	0.11	0.15	0.20	0.19	0.14	0.13	0.03
Плотность относит. частот	0.005	0.011	0.015	0.020	0.019	0.014	0.013	0.003

3. Для построения гистограммы плотности относительных частот по оси абсцисс откладываем частичные интервалы, и на них, как на основаниях, строим прямоугольники с высотами равными плотностям относительных частот (рис. 1).

3. По сгруппированной выборке строим дискретный вариационный ряд и статистическое распределение частот и относительных частот (таблица 4).

Таблица 4 – Дискретный вариационный ряд

Середины интервалов	15	25	35	45	55	65	75	85
Частоты	5	11	15	20	19	14	13	3
Относительные частоты	0.05	0.11	0.15	0.20	0.19	0.14	0.13	0.03

3. Для построения полигона относительных частот соединяем отрезками прямых точки с координатами , полученная ломаная является полигоном (рис. 2).

3. Для нахождения эмпирической функции распределения построим таблицу 5, где произведем подсчет числа значений изучаемого признака, меньших начала каждого частичного интервала.

Таблица 5 – Значения эмпирической функции распределения

Начало интервалов	10	20	30	40	50	60	70	80	90
Число значений, меньших	0	5	16	31	51	70	84	97	100
	0	0.05	0.16	0.31	0.51	0.70	0.84	0.97	1

График эмпирической функции приведён на рис. 3.

7. Для нахождения точечных характеристик выборки составим расчетную таблицу 6.

Таблица 6 – Расчетная таблица

Середина интервала	Частоты
15	5	75	– 34.6	5985.8	– 207108.68	7165960.320
25	11	275	– 24.6	6656.76	–163756.296	4028404.882
35	15	525	– 14.6	3197.4	– 46682.04	681557.784
45	20	900	– 4.6	423.2	– 1946.72	8954.912
55	19	1045	5.4	554.04	2991.816	16155.8064
65	14	910	15.4	3320.24	51131.696	787428.12
75	13	975	25.4	8387.08	213031.832	5411008.533
85	3	255	35.4	3759.48	133085.592	4711229.957
Сумма	100	4960		32284	– 19252.8	22023272.2

Используя полученные в таблице значения, найдем точечные выборочные статистические характеристики в пределах данной выборки.

ден.ед.;

;

ден.ед.;

;

.