Санкт-Петербургский государственный технологический институт

(Технический университет)

Кафедра САПРиУ

Курс 3

Группа 4893

Отчёт по лабораторной работе №3

«Устойчивость автоматических систем регулирования»

Исполнители:

Ясевич Т.

Волкова Е.

Лозовенков В.

Руководители:

Гольцева Л.В.

Макарова Л.Ф.

Санкт-Петербург, 2011

Цель работы:

Освоение техники выделения областей устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора и оценка качества переходных процессов, полученных при определенных комбинациях значений настроечных параметров.

Задание: дана структурная схема линейной АСР

x(t)

y(t)

(t)

(t)

Рисунок 1 Структурная схема линейной АСР

k_об = 1 , T₁ = 10 , T₂ = 30

T_б - постоянная времени балластной инерционности реального П - Регулятора.

k_рег = 15 , T_б =5

1. Вывести характеристическое уравнение замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Передаточная функция разомкнутой системы представляет собой произведение передаточных функций последовательно соединённых звеньев регулятора и объекта:

.

Характеристический полином замкнутой системы равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы:

Раскроем скобки, приведем подобные и получим следующий вид характеристического полинома:

После подстановки исходных данных характеристический полином будет иметь следующий вид:

2. Построить кривые D разбиения в плоскости изменения, определить и проверить области, претендующие на устойчивость, используя для этой цели коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы.

Рисунок 2 График D-разбиения в плоскости коэффициента усиления разомкнутой системы

D0

Двигаясь по кривой в сторону увеличения частоты ω от -∞ до +∞, штрихуем область слева от нее. Кривая разбила плоскость на три области. Претендентом на устойчивость является область D0. Проверим D0 на устойчивость, взяв любое значение k_рег из этой области.

Возьмем k_рег=0. Тогда характеристический полином примет вид:

D(p)=1500p³+500p²+45p+1

Для того, чтобы определить устойчива ли система, воспользуемся критерием Гурвица. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения, т.е. при a₀ >0 были положительными.

Т.к. выполняется условие положительности коэффициентов и ∆₃=∆₂=2,1∙10⁴>0, область D0 является областью устойчивости.

Отбрасываем отрицательные и комплексные значения и получаем допустимый диапазон изменения коэффициента усиления: 0< k_рег<14.

Рисунок 3 Граница D-разбиения в плоскости постоянной времени Т_б

Двигаясь по кривой в сторону увеличения частоты ω от -∞ до +∞, штрихуем область слева от нее. Кривая разбила плоскость на 4 области. Претендентами на устойчивость являются области D0 и D1.

Проверим область D0 на устойчивость, взяв любое значение Т_б из этой области.

Возьмем Т_б=1. Тогда характеристический полином примет вид:

D(p)=300p³+340p²+41p+16

Воспользуемся критерием Гурвица. Построим определитель Гурвица.

Т.к. выполняются условия, описанные выше, а также определители второго и третьего порядка больше нуля, то можно сказать, что область D0 устойчива.

Проверим область D1 на устойчивость, взяв любое значение Т_б из этой области.

Возьмем Т_б=100. Тогда характеристический полином примет вид:

D(p)=30000p³+4300p²+140p+16

Построим определитель Гурвица:

Т.к. выполняется условие положительности коэффициентов, а также определители второго и третьего порядка больше нуля, то можно сказать, что область D1 устойчива.

Отбрасывая отрицательные и вещественные значения, получим допустимый диапазон значений постоянной времени: 0< Т_б<4.41 и 66.61< Т_б<+∞.

Рисунок 4 Граница D-разбиения в плоскости коэффициента усиления разомкнутой системы k_рег и постоянной времени Т_б

Проведём ряд вычислений, чтобы выяснить куда направлять штриховку. Характеристическое уравнение

перепишем в виде:

,где .

Подставляя в характеристическое уравнение , получаем выражение для границы D-разбиения ,

где ,

,

Приравняв к нулю действительную и мнимую части, получим следующую систему двух уравнений:

;

.

Решаем эти уравнения относительно и :

;

.

Главный определитель системы:

.

Подставив числа, получим: .

Главный определитель при и при . Следовательно, двигаясь в сторону изменения w от - ∞ до + ∞, штрихуем области слева от кривой при и справа от кривой при .

Таким образом, претендентом на устойчивость является область D2.

Проверим область D2 на устойчивость, взяв любые значения k_рег и Т_б из этой области.

Возьмем k_рег=1 и Т_б=1. Тогда характеристический полином примет вид:

D(p)=300p³+340p²+41p+2

Построим определитель Гурвица:

Т.к. выполняется условие положительности коэффициентов, а также определители второго и третьего порядка больше нуля, то можно сказать, что область D2 является областью устойчивости.