2. Геометрические вероятности

Это понятие касается следующего класса задач. Представим себе, что на плоскости расположены две области и , причем область целиком распложена в области . Их площади, соответственно, равны и . В область наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт также и в область ?

Если предположить, что точка может попасть в любую часть области , а вероятность попадания в область пропорциональна лишь её площади и не зависит ни от расположения , ни от её формы, то искомая вероятность равна:

.

Это и есть так называемое «правило нахождения геометрической вероятности»[7].

Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки:

1) в объёмную область величиной , содержащуюся в объёмной области величиной ;

2) на отрезок величиной , расположенный на отрезке величиной ,

если точка брошена наугад в объём или на отрезок :

или соответственно .

Пример. Круглый диск радиуса разбит на два сектора рис 2.2. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу . По быстро вращающемуся диску произведён выстрел. Цель поражена. Найти вероятность того, что попали в заштрихованную часть.

Решение. Идеология решения задачи проста. Пусть событие есть событие, состоящее в том, что попали именно в заштрихованную часть. Тогда искомая вероятность равна , где - площадь заштрихованной части, - площадь круга ().

Проблема лишь в том, как найти площадь заштрихованной части. Но относится к также, как и длина дуги заштрихованной части () относится к длине круга ()

Рис. 2.2. Иллюстрация что и требовалось найти.

геометрической вероятности.

Пример. Задача Бюффона (или задача об игле) [7]. Пусть на плоскость, разлинованную параллельными линиями с расстоянием , наудачу брошен отрезок (игла) длиной . Какова вероятность пересечения линии иглой?

Событие состоит в пересечении линии на плоскости. Игла пересекает только одну линию в силу ограничения , или не пересекает ни одной. Пусть - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, а - угол наклона иглы к линиям. Тогда множество всех равновозможных событий , а множество всех благоприятствующих исходов для события и оба эти множества изображены ниже на рисунке. Вероятность события вычисляется как геометрическая:

, , .

Рис 2.3. Иллюстрация к задаче Бюфона.

Лекция № 3

Вероятности сложных событий

Часто бывает ситуация, когда вероятность искомого события может быть вычислена через известные вероятности ряда более простых событий, наступление или не наступление которых и приводит к искомому событию.

1. Определение условной вероятности

Начнем с определения.

Определение. Если >, то частное

называется условной вероятностью события при условии (или условной вероятностью события при условии, что событие произошло). Оно обозначается:

.

Смысл условной вероятности открывается из следующего рассуждения. Пусть рассматриваются геометрические вероятности. Событие состоит в том, что бросаем точку на часть плоскости и попадаем в фигуру , а событие - попадаем в фигуру (см. рис. 3.1). Тогда событие состоит в том, что бросаем точку и она попадает в общую часть фигур и (на рис. эта часть забита точками).

Рис 3.1. Иллюстрация понятия условной вероятности.

Тогда характеризует, какую часть по отношению к части (событию ) составляет часть (событие ). Иными словами,

.

Вывод из сказанного получается следующий: действительно обозначает вероятность того, что произойдёт при условии, что произошло.