Ю.Д.Жданова. Лекції з МОКП. М3 Скінченні поля. Лекція № 7
Лекція № 7 Тема: Скінченні поля
План лекції:
-
Скінченні кільця і скінченні поля.
-
Скінченні поля на базі кілець класів лишків за даним простим модулем.
-
Характеристика поля.
-
Число елементів скінченного поля.
-
Примітивні елементи скінченного поля.
-
Скінченні кільця і скінченні поля
Згадаємо, що кільцем називається непорожня множина , на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення), такі, що
-
– абелева група відносно операції + (адитивна група кільця).
-
– півгрупа відносно операції (мультиплікативна півгрупа кільця).
-
Операція (множення) дистрибутивна зліва і справа відносно операції+(додавання): ;
.
Операції + і не обов’язково є звичайними операціями додавання і множення. Нейтральний елемент адитивної групи кільця називається нулем кільця і позначається 0, а симетричний елемент позначається .
Найпростішій приклад кільця – кільце цілих чисел .
Існують наступні класи кілець:
Кільце називається кільцем з одиницею, якщо в існує одиничний елемент , відмінний від нульового, тобто . Далі одиницю будемо позначати як 1.
Кільце називається комутативним, якщо операція є комутативною, тобто .
Кільце називається цілісним (або областю цілісності), якщо воно є комутативним кільцем з одиницею, в якому з рівності випливає або . Оскільки ненульові елементи з властивістю називають дільниками нуля, то цілісне кільце ще називають кільцем без дільників нуля.
Кільце цілих чисел є цілісне кільце.
Кільце називається тілом, якщо і всі ненульові елементи в утворюють групу відносно операції .
Оскільки основною алгебраїчною структурою, яка буде використовуватися надалі, є поле, особливу увагу звернемо на його означення.
Полем називається множина на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення) такі, що
-
– комутативне кільце з одиницею;
-
Для кожного ненульового елемента існує в обернений до нього елемент : .
Отже, поле – це комутативне кільце з одиницею, в якому кожний елемент має обернений.
Поле являє собою поєднання на одній і тій самій множині двох абелевих груп – адитивної групи і мультиплікативної , зв'язаних дистрибутивним законом (тепер вже одним, з-за комутативності).
Поле можна визначити ще як комутативне тіло.
Зокрема, поле є цілісним кільцем. Обернене твердження вірне лише у випадку скінченного кільця.
Теорема. Кожне скінченне цілісне кільце є полем.
Означення. Непорожня підмножина кільця називається підкільцем цього кільця, якщо замкнене відносно алгебраїчних операцій + і і утворює кільце відносно цих операцій.
Означення. Непорожня підмножина кільця називається ідеалом кільця , якщо є підкільцем кільця і для будь-який елементів і , .
Оскільки ідеали є нормальними (ліві суміжні класи співпадають з правими) підгрупами адитивної групи кільця, то кожен ідеал кільця визначає деяке раз биття множини на суміжні класи за адитивною підгрупою , які називаються класами лишків кільця за модулем ідеалу . Клас лишків кільця за модулем ідеалу , що містить елемент , позначають через , оскільки він складається з усіх елементів виду , де. Елементи , які належать одному і тому ж класу лишків за модулем ідеалу (тобто такі, що ), називають конгруентними за модулем ідеалу і позначають . Для них справедливо:
-
Якщо , то , , , , .
-
Якщо , то , .
Теорема (про факторкільце). Множина всіх класів лишків кільця за модулем ідеалу відносно операцій додавання і множення, визначених наступним чином:
;
,
є кільцем. Це кільце називається факторкільцем кільця за модулем ідеалу і позначається .
Приклад 1. Якщо , , то кільце класів лишків цілих чисел , де є прикладом скінченного кільця і має широкі застосування в теорії чисел. Елементами кільця є , , , …, . В кільці класів лишків звичайно оперують з фіксованою множиною представників за модулем . У позначеннях також відмовляються від рисочок і кружечків.
В окремому випадку , де – просте число скінченне кільце лишків стає полем.
Теорема (про факторкільце ). Факторкільце кільця цілих чисел за ідеалом, породженим простим числом , є полем.
Приклад 2. Нехай . Тоді кільце складається з трьох елементів , операції в кільці можна задати таблицями Келі:
0 |
1 |
2 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
+ |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
2 |
2 |
0 |
1 |
Останній приклад є першим зразком скінченного поля, тобто поля, множина елементів якого скінченна. Ці поля відіграють основну роль в сучасній криптографії.