15

Лекція 5 Тема: Векторні простори. Алгебри

План лекції:

1. -вимірний арифметичний простір.

2. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору.

3. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору.

4. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.

5. Підпростори векторного простору.

6. Лінійний оператор і його матриця

7. Поняття алгебри. Приклади алгебр.

8. Ізоморфізм та гомоморфізм алгебр.

1. -вимірний арифметичний простір

Нехай – деяке числове поле. Числа з будемо позначати малими латинськими буквами.

Означення. Будь-який впорядкований набір з чисел з поля називається -вимірним числовим вектором. Числа називаються координатами або компонентами вектора. Позначається .

Компоненти вектора розташовують в рядок:

або в стовпчик

.

-вимірний вектор, всі компоненти якого дорівнюють нулю, називається нульовим або нуль-вектором: .

Означення. Два числових вектори та рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні компоненти:

.

Відзначимо, що два числових вектори не можуть бути рівні, якщо число компонент в них неоднакове.

Позначимо через множину всіх -вимірних числових векторів з компонентами з . Визначимо в цій множині операції додавання векторів і множення вектора на число з поля .

Означення. Сумою векторів та називається вектор

.

Означення. Добутком вектора на число називається вектор

.

Неважко переконатися в тому, що множина всіх -вимірних числових векторів є абелевою групою відносно додавання. Дійсно, оскільки операція додавання -вимірних числових векторів зводиться до додавання їх відповідних координат, то вона асоціативна:

1. – асоціативність додавання;

і комутативна:

2. – комутативність додавання;

в множині міститься нульовий елемент, ним є нуль-вектор :

3. : – існування нульового елемента ;

для кожного -вимірного числового вектора в множині міститься протилежний йому вектор :

4. : – існування протилежного елемента;

З означення добутку вектора на число випливає, що операція множення вектора на число асоціативна:

5. – асоціативність множення на число;

6. .

Крім того, мають місце

7. – дистрибутивність множення на число відносно додавання чисел ;

8. – дистрибутивність множення на число відносно додавання елементів.

Означення. Множина всіх -вимірних числових векторів з компонентами з поля разом з введеними операціями додавання векторів і множення вектора на число з поля , для яких виконуються всі властивості лінійних дій над векторами, називається -вимірним арифметичним простором над полем .

2. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторного простору

У різних розділах математики лінійні операції виконуються не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Можливість підходити до цих об’єктів із загальної точки зору дає поняття векторного (лінійного) простору.

Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначати і нехай – деяке поле, елементи якого будемо позначати . Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елемента на число з поля : .

Означення. Множина називається векторним (лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання ;

3. : – існування нульового елемента ;

4. : – існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6. .

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Будемо позначати векторний простір, визначений на множині через або . Якщо поле є поле дійсних чисел , то векторний простір називається дійсним векторним простором; якщо поле є полем комплексних чисел, то векторний простір називається комплексним векторним простором.

Приклади векторних просторів:

1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є дійсним векторним простором. Множина комплексних чисел відносно операцій додавання комплексних чисел і множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір .

2) -вимірний арифметичний простір є векторним простором.

3) Сукупність всіх матриць розмірності з дійсними елементами утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання матриць і множення матриць на число.

4) Множина всіх геометричних векторів звичайного тривимірного простору з початком в точці відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число утворює дійсний векторний простір .

Множина всіх векторів деякої площини і деякої прямої відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число також є дійсними векторними просторами. Позначимо їх відповідно і .

5) Сукупність всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число утворює дійсний векторний простір.

6) Сукупність всіх неперервних функцій дійсної змінної, які визначені на деякому проміжку , утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання функцій і множення функцій на число. Роль нуль-вектора відіграє функція, яка тотожно дорівнює нулю.

З означення безпосередньо випливають наступні

Найпростіші властивості векторного простору:

1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що : . (аксіома 3)

2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора існує єдиний вектор такий, що . (аксіома 4)

3) Для будь-якого вектора .

4) Для будь-якого числа і .

5) Якщо добуток , то або , або .

6) Для будь-якого вектора елемент є протилежним до .