- •Наближені методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
- •1. Метод степеневих рядів
- •2. Метод послідовних наближень Пікара
- •7.3. Метод Ейлера та його модифікації розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
- •7.3.1. Метод Ейлера
- •7.3.2. Виправлений метод Ейлера
- •7.3.3. Удосконалений метод Ейлера (метод середньої точки)
- •7.3.4. Метод Ейлера-Коші (метод Хойна)
- •7.3.5. Удосконалений метод Ейлера-Коші з ітераційною обробкою
- •7.3.6. Уточнений метод Ейлера
- •7.4. Метод Рунге-Кутта та його модифікації розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку
- •7.5. Покроковий контроль точності. Метод Рунге-Кутта-Мерсона
- •7.6. Засоби середовища matlab розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методами Рунге-Кутта
- •7.7. Багатокрокові методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
- •7.7.1. Метод Адамса-Бешфорса-Маултона
- •7.7.2. Метод Мілна-Сімпсона
- •7.7.3. Метод Хеммінга
- •7.8. Засоби середовища matlab розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з використанням багатокрокових методів
- •7.9. Чисельні методи розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
- •7.10. Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків
- •7.11. Розв’язування лінійної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння другого порядку методом скінченних різниць
Наближені методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь
Наближені методи розв’язування звичайних диференціальних рівнянь поділяються на дві основні групи: аналітичні та чисельні. За допомогою аналітичних методів розв’язок звичайного диференціального рівняння отримують в аналітичному вигляді. До цієї групи методів відносяться: метод степеневих рядів, метод послідовних наближень Пікара, метод малого параметру та інші. Чисельні методи дозволяють отримати наближений розв’язок у вигляді множини числових значень, обчислених для деякої дискретної множини точок відрізку інтегрування (іншими словами, у вигляді таблиці значень). До чисельних методів належать: метод Ейлера та його модифікації, методи Рунге-Кутта, багатокрокові методи (Адамса-Бешфорса-Маултона, Мілна-Сімпсона, Хеммінга) та інші.
1. Метод степеневих рядів
Теорія степеневих рядів може застосовуватись для побудови наближеного розв’язку звичайних диференціальних рівнянь. Вона є еталонною, оскільки з нею порівнюють точність чисельних методів при розв’язанні задачі Коші.
Звичайне диференціальне рівняння -го порядку символічно записують так:
, .
Початкові умови для диференціального рівняння задають в початковій точці
.
Тут – наперед задані числа. Це є задача Коші.
Даний метод розв’язує цю задачу у вигляді рядів Тейлора
, ,
де – невідомі коефіцієнти, які визначаються в процесі розв’язання. Перші коефіцієнтів знаходяться з початкових умов задачі Коші:
, , ,...,.
Для визначення всіх наступних коефіцієнтів , ,... слід використовувати диференціальне рівняння, попередньо розв’язуючи його відносно старшої похідної :
, .
Якщо покласти в останньому рівнянні та прийняти попередні значення , отримаємо значення . Такий спосіб дозволяє знайти послідовно всі наступні значення коефіцієнтів розв’язку задачі Коші. Реально побудований розв’язок містить частину ряду Тейлора
, ,
де – ціле число.
Приклад 1. Знайти перші сім членів розкладу в степеневий ряд розв’язку задачі Коші:
, ,
, .
Розв’язок задачі представимо у вигляді степеневого ряду:
.
Безпосередньо з початкових умов маємо
, .
Для визначення наступних коефіцієнтів , розв’яжемо рівняння відносно старшої похідної
.
Тепер, використовуючи початкові умови, матимемо
.
Диференціюючи ліву і праву частини рівняння для , отримаємо:
,
,
,
.
Якщо тепер використати початкові умови та значення , можна послідовно визначити всі величини . Застосовуючи цю операцію чотири рази отримуємо наближений розв’язок задачі Коші. В результаті, розв’язок задачі, з використанням семи членів степеневого ряду, має вигляд
.
Звичайно, існують й інші методи, що застосовують розкладання у степеневі ряди. Вони дозволяють знайти розв’язок з високою точністю, похибка має порядок . Але для цього необхідне попереднє задання та обчислення похідних високих порядків, що ускладнює розв’язок задачі. Тому розвиток отримали методи, що виключають необхідність обчислення похідних, наприклад методи Рунге-Кутта.
2. Метод послідовних наближень Пікара
Шарль Еміль Піка́р (Charles Émilе Picard) (1856-1941) – французький математик, член Паризької Академії Наук (1889), її президент у 1910 р., член Французької Академії (1924), іноземний член-кореспондент Петербурзької Академії Наук (1895) та іноземний почесний член Академії Наук СРСР (1925). Закінчив Вищу нормальну школу в Парижі (1877), з 1881 р. професор цієї школи, а з 1886 р. – Паризького університету. Викладав на Паризькому, Тулузькому факультетах наук, в Сорбонні, в Центральній школі мистецтв і ремесел. Основні роботи присвячені теорії функцій, теорії диференціальних рівнянь тощо. Сформулював загальну теорему Пікара про поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки. Розробляв також теорію функцій комплексної змінної, займався історією та філософією математики.
Для інтегрування диференціального рівняння при деякій початковій умові використовують початкову функцію і обчислюють послідовні наближення до шуканого розв’язку:
. |
(1) |
Метод Пікара особливо зручний, якщо інтеграли в такому вигляді є замкненими. При цьому можна застосовувати і саме інтегральне числення.
При реалізації цього підходу будуємо шуканий розв’язок у вигляді і знаходимо його для . Формальне використання формули Ньютона-Лейбница дозволяє отримати представлення у вигляді:
або
.
Використовуючи останнє можна отримати перше наближення
.
Всі наступні наближення отримуються згідно (1).
Якщо функція є диференційованою, то послідовність є збіжною на відрізку , тобто
.
Метод послідовних наближень застосовується в тому випадку, коли можуть бути обчислені інтеграли в кожному наближенні.
Приклад 2. Знайти методом послідовних наближень розв’язок задачі Коші
, , .
Послідовні наближення отримуємо за формулою (1):
,
,
,
.
Точним розв’язком цієї задачі є . Для перевірки отриманого розв’язку за методом послідовних наближень, розкладемо функцію в ряд:
.
Таким чином, результати співпадають.