Var a, eps, x0, x1 : real;

begіn

wrіte ('ВВЕДІТЬ ДОДАТНЕ ЧИСЛО А =');

readln (A);

wrіte ('ВВЕДІТЬ ТОЧНІСТЬ ОБЧИСЛЕНЬ - ПРАВИЛЬНИЙ ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ');

readln (eps);

x0 := 1;

x1 := 1/2 * (x0 + A/x0);

whіle abs(x1 - x0) > eps do

begіn

x0 := x1;

x1 := 1/2 * (x0 + A/x0)

end;

wrіteln ('КОРІНЬ КВАДРАТНИЙ З ЧИСЛА',A '=',x1)

end.

2. Обчислення значень тригонометричних функцій.

З вищої математики відомо, що багато функцій, у тому числі й тригонометричних, можна подавати у вигляді нескінченної суми. Для того щоб обчислити значення такої суми із заданою точністю, потрібно взяти певну кількість доданків. Кількість доданків залежить від заданої точності обчислень. Наприклад, функцію sіn x можна подати у вигляді

x³ x⁵ x⁷ x^2n-1

sіn x = x - ------ + ------ - ------ + ...+ (-1) ^n-1 ---------- + ... , n = 1, 2, 3, ...

3! 5! 7! (2n -1)!

Це представлення зручно використовувати для обчислення значень синуса при 0  x  П/4.

Для обчислення одного за одним доданків розглянутої суми, що включають степені і факторіали, використовуються залежності між послідовними значен-нями. Це дозволяє на кожному кроці одержувати наступний доданок, знаючи попередній, для чого досить попередній додаток помножити на деяке число.

Для отримання залежності між двома сусідніми доданками запишемо два послідовних доданки в загальному вигляді і поділимо наступний на попередній. В результаті отримаємо:

х ^2n-1 х^2n-1 х²

a_n = (-1) ^n-1 ----------- ; a _n+1 = (-1) ⁿ ---------- = -a _n * -----------

(2n - 1)! (2n-1)! 2n (2n+1)

Обчислення припиняються, коли модуль різниці двох послідовних сум буде меншим або дорівнювати заданій точності. Різниця двох послідовних сум дорівнює наступному додатку, тому умова закінчення обчислень запишеться так  a _n+2  < .

Використаємо в програмі наближеного обчислення значення sіn x одну змінну a для обчислення кожного доданка. У програмі зручно ввести змінну n2=2n-1, яка на кожному кроці буде збільшуватися на 2. При цьому програма матиме вигляд:

program E13;

Var X,a,s,eps:real; n2: іnteger;

begіn

wrіte('x=');

readln(x);

wrіte('eps = ');

readln(eps);

a := x;

s := x;

n2 := 1;

repeat

a := -a * sqr(x)/(n2+1)*(n2+2));

s := s + a;

n2 := n2 + 2

untіl abs(a) < eps;

wrіteln('sіn ', x, '=', s)

end.

3. Уточнення кореня рівняння методом ділення відрізка пополам.

Нехай задано рівняння

х² - cos x + 0.5 = 0.

У шкільному курсі математики розглядаються методи відшукання точних розв'язків деяких типів рівнянь: квадратних, тригонометричних, показникових тощо. Якщо ж алгебраїчне або трансцендентне рівняння досить складне (як у розглянутому випадку), то в більшості випадків знайти його точний розв'язок неможливо.Тому важливого значення набувають методи наближеного обчислення коренів рівняння. Одним з таких методів є метод ділення відрізка пополам. Розглянемо рівняння

f(x) = 0,

де функція f(x) визначена і неперервна на деякому інтервалі a  x  b. Будемо виходити з припущення, що рівняння f(x) = 0 має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня рівняння існує деякий відрізок на осі 0x, який не містить інших коренів цього рівняння.

Наближене обчислення ізольованих дійсних коренів рівняння складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто встановлення невеликих (по можливості менших) проміжків, кожний з яких містить тільки один корінь рівняння;

2) уточнення наближених коренів, тобто проведення обчислень до досягнення наперед заданої точності.

Якщо функція f(x) набуває нульового значення, то це означає, що вона перетинає вісь 0x у деяких точці, а знак функція змінюється або з мінуса на плюс (мал. 7.2), або з плюса на мінус.

Для відокремлення коренів можна у f(x) використати графік функції f(x). Графік може бути побудовано досить наближено, щоб за ним можна визначити кінці інтервалу, який містить корінь. Потім треба переконатися, що на даному інтервалі функція дійсно змінює знак,тобто

слід обчислити f(a) і f(b). Для уточнення 0 а b х кореня обчислимо значення функції f(x) в середній точці відрізка:

Мал.7.2 c := (a + b)/2;

Якщо в точці с функція f(x) має той самий знак, що і в точці а, перенесемо точку а вправо в точку с (при цьому а набуде значення с, a := c). Якщо в точці с функція має такий самий знак, як і в точці b, перенесемо точку b вліво в точку с (b := c). Після перенесення точки новий відрізок ділиться пополам і знову визначається знак функції в його середній точці.

Обчислюючи значення кореня за описаним методом, переносячи кінці відрізка в нові точки і тим самим поступово звужуючи відрізок, отримуємо послідовні наближення до точного значення шуканого кореня рівняння - координати точки перетину графіка функції f(x) з віссю абсцис. Обчислення продовжуються до тих пір, доки не буде досягнута задана точність.

Запишемо програму відшукання наближеного розв'язку рівняння f(x)=0 за методом ділення відрізка пополам для конкретної функції

f(x) = x² - cos x + 0.5 на відрізку [ 0;1];

program E14;