- •Множества
- •Понятие множества
- •1.2. Отношения между множествами
- •1.3. Операции над множествами
- •Упражнения
- •2.1. Запись решений уравнений, неравенств, систем
- •2.2. Число элементов объединения множеств. Правило суммы
- •2.3. Прямое произведение множеств. Правило произведения
- •2.4. Число k-элементных подмножеств конечного множества. Перестановки и сочетания без повторений
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Высказывания и операции над ними
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Равносильные преобразования формул алгебры логики.
- •Контрольные вопросы и устные упражнения
- •Упражнения
- •Кванторы общности и существования
- •Упражнения
- •Применение предикатов.
- •6.1. Отношение следования и равносильности
- •6.2. Определение математических понятий
- •6.3. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы Необходимые и достаточные условия
- •6.4. Доказательство от противного
- •Понятие бинарного отношения. Операции над бинарными отношениями.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Определители
ТЫВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Г.А. Троякова, О.П. Магеря
АЛГЕБРА – 1
Практические занятия для студентов первого
курса физико - математического факультета
Кызыл 2011 г.
УДК 513
Г.А. Троякова., О.П.Магеря. Алгебра – 1.Практические занятия для студентов первого курса физико-математического факультета. ТывГУ.- Кызыл, 2009. – 56 с.
Настоящее пособие написано в соответствие с программой для специальности «математика», квалификация: «учитель математики». Оно представляет собой систему практических занятий по темам: элементы теории множеств и логики, бинарные отношения, системы линейных уравнений, - изучаемым в первом семестре.
Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии,
УМС физико-математического факультета ТывГУ.
Рецензенты:
Доцент кафедры алгебры и
математической логики
Красноярского госуниверситета
к.ф.-м.н.
доцент кафедры высшей математики
Красноярского политехнического
Университета, к.ф.-м.н..
С Тывинский
государственный
университет
З А Н Я Т И Е № 1.
Множества
-
Понятие множества
В математике, да и в других науках, каждое новое понятие определяется обычно через уже известные, более элементарные понятия. Последнее, в свою очередь, определяется через ещё более простые и т.д., до тех пор, пока не придут к исходным понятиям. Понятие множества - исходное, первичное. Оно не поддаётся точному определению, его можно лишь описать, пояснить на примерах.
Под множеством А будем понимать любое собрание определённых и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами или членами множества А.
Если элемент х принадлежит множеству А, то это обозначается так: х А, - если же х не принадлежит множеству А, то знак перечёркивают и пишут: х А.
Множество задано, если по отношению к любому объекту можно сказать, является он элементом этого множества или нет.
В алгебре чаще всего приходится иметь дело с числовыми множествами. Для некоторых из них приняты стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
Например, запись -7 Z читают так: “число -7 является целым”, а запись -7 N - “число -7 не является натуральным”.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Примером пустого множества может служить множество коней уравнения: 2х + 5 = 2(х - 1).
Убедитесь в этом!
Обычно множество задаётся перечислением всех его элементов (если это возможно), например, М = {a, b, c}; выделением из более широкого указанием признака, характеристического свойства, по которому элементы данного множества отличаются от всех остальных, например, В = {x | x N и x < 7}.
Задайте множество В перечислением!
Определение. Множество называется конечным, если количество его элементов может быть выражено определённым (конечным) числом и обозначается: n(А) . В противном случае множество называется бесконечным.
Например, множество К всех двузначных чисел конечно и n(K) = 90, а множество натуральных чисел N бесконечно.
Определение. Два множества А и В называют равными и пишут А = В , если А и В содержат одни и те же элементы.
Например, множества С = {2, 3, 4, 5, 6} и L = {x | x N и х < 7} равны. Множества {1, 2, 3} и {3, 1, 2, 1} тоже равны, т.к. каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству и наоборот; оба множества состоят из трёх элементов и, обычно, используют запись {1, 2, 3}.
1.2. Отношения между множествами
Определение. Множество В называется подмножеством множества А (обозначение: В А), если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества ( А). Любое множество является подмножеством самого себя (А А). Например, множество В = {a, b, c} есть подмножество множества А = {a, b, c, d, e}. Как правило, подмножество задаётся указанием характеристического свойства. Таким способом получаем множества решений уравнений и неравенств.
Для наглядности множество изображается кругом (или другой связной фигурой) - круг Эйлера-Венна на плоскости мыслится как множество точек круга. Возможны следующие отношения между множествами А и В: а) множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис.1); б) множества А и В не имеют общих элементов (рис.2); в) одно из множеств, например В, является подмножеством другого (рис.3); г) множества равны (рис.4).
рис.1 рис.2 рис.3 рис.4
Определение. Пусть a, b R и a < b. Интервалом от a до b называется подмножество множества R, состоящее из всех тех чисел х. для которых a < x < b. Обозначение: (a ; b).
Изображение:
a b x
Аналогично даются определения:
а) отрезка от a до b (обозначение: [a ; b]); определяющее неравенство: a x b; изображение:
a b x
б) открытый слева полуинтервал от a до b (обозначение: ( a ; b ] ); определяющее неравенство: a < x b; изображение:
a b x
в) открытый справа полуинтервал от a до b.
Указанные выше множества называют промежутками.
Дайте полные определения для пунктов а), б), в)!