Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 1

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 2

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 3

Аксиомы проективного пространства 3

Модели проективной прямой, проективной плоскости 4

Изоморфизм моделей 6

ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 7

Проективный репер 7

Координаты точки на прямой (плоскости) 8

Принадлежность трёх точек одной прямой 10

Однородные проективные координаты 13

Уравнение прямой. Координаты прямой 16

Взаимное расположение двух прямых 18

Принадлежность трёх прямых одному пучку 18

Координаты точки и уравнение прямой в пространстве 19

Преобразование координат 20

Принцип двойственности 22

Теорема Дезарга 26

Простое отношение 30

Сложное отношение 31

Гармонизм 37

Гармонические свойства полного четырехвершинника 38

Квадрики на проективной плоскости 42

Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. 43

Взаимное расположение прямой и квадрики 46

Уравнение касательной 48

Полюс и поляра 50

Теорема Штейнера 56

Теорема Паскаля и ее предельные случаи 59

Задачи на построение, связанные с овалом 62

Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости 65

Проективные преобразования плоскости 69

Аналитическое представление проективных преобразований 71

Перспектива 73

Отображение пучка в пучок 76

Инволюция 78

Коллинеация 83

Инварианты коллинеации 83

Гомология 87

Гомологии на расширенной плоскости 90

Дополнительная литература 91 введение

Данное пособие содержит конспект лекций по проективной геометрии и входит в учебно-методический комплекс дисциплины «геометрия», разработанный преподавателями кафедры алгебры и геометрии. Содержание пособия соответствует ГОС специальности «050100 математика» ДПП Ф.05 «геометрия».

В связи с сокращением лекционных аудиторных часов на изучение проективной геометрии возникает проблема изложения учебного материала в более сжатые сроки. Готовые конспекты лекций, содержащие основной материал дисциплины, наш взгляд, позволит сэкономить время занятия, которое обычно тратится на «диктовку» основных определений и теорем.

Пособие также представлено в электронном формате. К каждому лекционному занятию каждый студент должен иметь распечатанный текст лекции для индивидуальной работы в аудитории. Преподаватель, комментируя лекцию, выполняет консультативную функцию.

Конспекты снабжены структурно-логическими схемами к каждой теме. Необходимые построения и чертежи рекомендуется выполнять карандашом.

Автор надеется, что данное пособие окажет помощь студентам при освоении геометрии.

Структурно-логическая схема курса «проективная геометрия»

Исторические сведения

Проективную геометрию можно назвать исторически первой неевклидовой геометрий. Предыстория проективной геометрии восходит к античной Греции. Первые идеи отмечены в трудах Паппа Александрийского (III–IV века) в работе «Математические собрания». Начало теории перспективы заложил флорентийский архитектор Брунеллески (1377–1446 г.г.) Расцвета перспектива достигает у Леонардо да Винчи. Много перспективой занимался художник Альбрехт Дюрер (1471–1528 г.г.). Основы проективной геометрии как науки заложены в XVII в Жераром Дезаргом (перспектива) и Блезом Паскалем (1623–1662 г.г.) (конические сечения). Как самостоятельная дисциплина проективная геометрия изложена в 1822 г. Жаном Виктором Понселе в «Трактате о проективных свойствах фигур» (написан 1813–1814 г.г. в Саратове в плену). Дальнейшее развитие проективная геометрия получила в ХVIII–ХIХ в.в. в работах Я. Штейнера, А. Кели, Ф. Клейна, Х. Штаудта, Ж. Жергонна и других.

Жерар Дезарг (1593–1662 г.г.)	Понятия бесконечно-удаленной точки, сложного отношения, проективное преобразование.
Виктор Понселе (1788–1867 г.г.)	«Проективная геометрия».
Карл-Георг Кристиан Штаудт (1798–1859 г.г.)	Аксиоматическое построение геометрии, координаты.
Жозеф Дьез Жергонн (1771–1859г.г.)	Принцип двойственности, понятие поляры.
Франсуа Жозеф Сервуа (1767–1847)	Понятие полюса.
Август Фердинанд Мебиус (1790–1868 г.г.)	Двойное отношение, однородные координаты, корреляция.
Кристиан Феликс Клейн (1849–1925)	«Эрлангенская» программа
Якоб Штейнер (1796–1863 г.г.)	Систематизация. Синтетический подход к проективной геометрии.
Юлиус Плюккер (1801–1868 г.г.)	Обобщенные координаты.
Артур Кели (1821–1895 г.г.)	Теория инвариантов. Абсолют.