VII этап

Рис. 1.1. Основные этапы математического моделирования

Второй этап – это фор­мальное, математическое описание РС. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими РС ТО, и называют мате­матической моделью (ММ).

На третьем этапе проводят качественный и оценочный ко­личественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточ­нения или пересмотра РС (штриховая линия на рис. 1.1). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в РС. В большинстве случа­ев, принимая дополнительные по отношению к РС допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при те­стировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ, т.е. об упорядочении ММ по признаку их сложности и полноты. Построение иерархии ММ связано с различной детализаци­ей свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследова­ния различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оце­нить достоверность результатов последующего вычислитель­ного эксперимента: если более простая ММ правильно отража­ет некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ. Итог анализа на рассматриваемом этапе – это обоснован­ный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении тре­тьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его РС, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот ал­горитм средствами вычислительной техники.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны пройти тестиро­вание путем сопоставления с данными количественного анализа выбранного упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирова­ние может выявить недочеты как в программе, так и в алгорит­ме, и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма, и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке РС и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду „модель – алгоритм – программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего „технологиче­ский цикл" этапа математического моделирования.

Свойства математической модели:

Полнота ММ – это подробность описания необходимых с точки зрения модели параметров ТО.

Точность ММ – это допустимая величина несовпадения реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО.

Адекватность ММ – это способность ММ отражать характеристики ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в дан­ном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО.

Экономичность ММ оценивают затратами на вычисли­тельные ресурсы, необходимые для реализации ММ на ЭВМ.

Робастность ММ характеризует способность ММ не допускать чрезмерного влия­ния погрешностям исходных данных на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу при­ближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро из­меняющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью.

Продуктивность ММ связана с возможностью распола­гать достаточно достоверными исходными данными, точность определения которых должна быть выше, чем для тех параметров, которые получа­ются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими ис­ходными данными.

Наглядность ММ является ее желательным, но необя­зательным свойством. Тем не менее использование ММ упрощается, если ее составляющие имеют ясный содержательный смысл.

Структурные и функциональные математические модели. Различные особенности и признаки математических мо­делей лежат в основе их классифика­ции. Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технического объекта, степень их детали­зации, способы получения и представления ММ.

Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТО. Если ММ отображает устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математиче­ской моделью. Если же ММ отражает происходящие в ТО физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математиче­ским моделям. Существуют и структур­но-функциональные математические модели.

Структурные ММ делят на топологические и геоме­трические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяс­нения и уточнения их взаимосвязи. Геометрическая ММ дополнительно к информации, пред­ставленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементов, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебраические соотношения, опре­деляющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам. Такую ММ иногда задают координатами не­которого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверх­ности. Границы области задают и кинематическим способом: линию – как траекторию движения точки, а поверхность – как результат перемещения линии. Представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагмен­тов достаточно простой конфигурации. Такой способ характе­рен, например, для метода конечных элементов, широко используемого в математическом моделировании.

Функциональные ММ состоят из соотношений, связываю­щих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, входные и выходные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют ими­тационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. По форме представления имитационная ММ является при­мером алгоритмической математической модели, по­скольку связь в ней между входными и выходными параметра­ми ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы. По этому призна­ку к типу алгоритмических относят более широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи меж­ду параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При построении иерархии ММ одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Теоретические и эмпирические модели. По способу получения ММ делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения свойств ТО и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдений внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключает­ся в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпириче­ская ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели.

При построении теоретических ММ прежде всего стре­мятся использовать известные фундаментальные законы со­хранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движе­ния. Кроме того, привлекают определяющие соотношения, (называемые также уравнениями состояния), в роли кото­рых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона – Менделеева, закон Ома, закон Гука, закон Фурье и т.п.).

Сочетание теоретических соображений качественного ха­рактера с обработкой результатов наблюдения внешних про­явлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении та­ких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую Пи-теорему: ес­ли между  параметрами, характеризующими изучаемый объ­ект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде  – k зависимостей их безразмерных комбинаций, где k – число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом величина  – k определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия.