15.Основні гіпотези які приймаються при розрахунках пластин на згин. Класифікація пластин.

Пластинкою називається призматичне або циліндричне тіло, висота якого мала в порівнянні з розмірами в плані

Тонкі пластинки звичайно розраховують по наближеній теорії — технічної теорії згинання пластинок, що заснована на наступних гіпотезах, запропонованих німецьким фізиком Г. Кирхгофом.

1. Гіпотеза прямих нормалей:

Будь-який прямолінійний елемент, нормальний до серединної площини, залишається прямолінійним і нормальним до серединної поверхні після деформування пластинки, і довжина його не змінюється.

2.Гіпотеза ненадавлювання волокон:

В перерізах паралельних серединній поверхні нормальні напруження відсутні.

3.Для жорстких пластин додаткова гіпотеза (гіпотеза відносної жорсткості серединної пластини):

Розміри і форма серединної поверхні в жорсткій пластині не змінюються.

Типи пластин:

1. w≤h – гнучкі, де w – прогин пластини; h – висота пластини;

2. w≤h – жорсткі

3. w> h – мембрани

17. Згин гнучких пластнн, гіпотези, запис рівнянь сумісності деформацій та рівноваги.

Тонкі пластинки, що мають прогини більші чверті своєї товщини, називаються гнучкими. Для них гіпотеза про недеформованість серединної площини виявляється несправедливою, тому що в ній виявляються деформації розтягання, стиску й зрушення. Крім того, зусилля серединної площини гнучкої пластинки залежать від її прогинів.

1. Гіпотеза прямих нормалей: Відрізок перпендикулярний до серединної поверхні до навантаження залишається прямим і перпендикулярним після навантаження і своєї довжини не змінює.

2. Гіпотеза ненадавлювання волокон. В перерізах паралельних серединній поверхні нормальні напруження відсутні. .

Запис рівняння сумісності деформацій та рівноваги.

Із закону Гука (враховуючи , що ) отримуємо:

Для знаходження моментів інтегруємо:

– циліндрична жорсткість пластини.

Записуємо суму моментів відносно осі х та у. Спрощуємо і отримуємо

Підставляємо і отримуємо

18.Згин тонких жорстких пластин.Основне диференціальне рівняння згину пластин(вивести р-ня Софі-Жернен-Лагранджа)

Для того щоб розглянутий елемент серединної площини перебував у рівновазі, повинні задовольнятися шість умов рівноваги: три рівняння проекцій сил на координатні осі і три рівняння моментів щодо цих осей. При цьому всі зусилля варто множити на довжину грані, по якій вони діють.

Спроектуємо  всі сили, зображені на рис. на вісь :

.

Після спрощення одержуємо

.

Рівняння моментів всіх сил щодо осі  має вигляд

Після спрощення одержуємо

.

Аналогічно, з рівняння  моментів щодо осі  виходить

.

Виключимо з рівнянь поперечні сили. У результаті одержимо

.

Підставимо  в це рівняння вирази моментів:

,

звідки після спрощення

,

або

.

Одержали основне рівняння згинання пластинки, яке звичайно називається рівнянням Софі Жермєн. При його інтегруванні з'являться довільні постійні, які повинні бути визначені з умов на контурі пластинки, що залежать від характеру закріплення її країв.

Основне диференціальне рівняння вигину пластин (рівняння Софі Жермен - Лагранжа) має вигляд

,

або в скороченій формі

.