- •1.Основні гіпотези і співвідношення теорії пружності
- •2. Основні рівняння теорії пружності. Розвязання задачі теорії пружності в переміщеннях (рівняння Ляме).
- •2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
- •3.Основні рівняння теорії пружності. Розвязання задачі теорії пружності в напружності(р-ня Бельтрамі-Мічела).
- •2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах
- •4. Плоска задача теорії пружності декартових координатах. Плоска деформація та узагальнений напружений плоский напружений стан.
- •6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.
- •Функція Ері
- •7. Розвязок плоскої задачі теорії пружності в поліномах
- •9.Плоска задача теорії пружності в полярних координатах.
- •12.Розрахунок нескінченного клина на дію зосередженого моменту
- •14. Розрахунок балки-стінки методом кінцевих різниць(метод Сіток)
- •3.6 Розрахунок балки-стінки
- •15.Основні гіпотези які приймаються при розрахунках пластин на згин. Класифікація пластин.
- •17. Згин гнучких пластнн, гіпотези, запис рівнянь сумісності деформацій та рівноваги.
- •18.Згин тонких жорстких пластин.Основне диференціальне рівняння згину пластин(вивести р-ня Софі-Жернен-Лагранджа)
- •19. Тонкі гнучкі пластини. Запис граничних умов
- •20. Рівняння ососиметричного згину кільцевих пластин. Запис граничних умов.
- •21.Рівняння осесиметричного згину круглих пластин,запис граничних умов.
- •5.11 Основні рівняння вигину круглої пластинки
- •22. Тонкі жорсткі пластини, циліндричний згин пластин.
- •24.Поперечний згин вільно опертих пластин(розвязок Навє в подвійних тригонометричних рядах).
- •25. Поперечний згин пластин, дві протилежні сторони яких шарнірно оперті (рішення м. Леві в одинарних тригонометричних рядах).
- •26. Розрахунок пластин, які працюють на згин, методом скінченних різниць (метод сіток). Запис граничних умов.
- •27. Варіаційні методи розрахунку пластин на згин.
- •28.Оболонки. Класифікаці оболонок. Безмоментна теорія розрахунку оболонок.
- •30. Розрахунок тонкостінних резервуарів. Вивести формулу Лапласа.
- •6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.
- •Функція Ері
- •12.Розрахунок нескінченного клина на дію зосередженого моменту
24.Поперечний згин вільно опертих пластин(розвязок Навє в подвійних тригонометричних рядах).
2Розглянемо шарнірно обперту по контуру прямокутну пластину під дією довільного розподіленого навантаження q(x,y) розв’язок диференціального рівняння D шукатимемо у вигляді нескінченного подвійного тригонометричного ряду
W(x,y)= (1)
Amn – постійні коефіцієнтиряду, якітребавизначити.
При шарнірному обпиранні прогини і згинальні моменти на контурі рівні нулю
Звідси робимо висновок, що граничні умови виконуються, при х=0, х=а,та у=0, та у=b
Щоб дістати постійні коефіцієнти ряду, підставимо функцію прогину (1) в рівнянняD
-
Коефіцієнти розкладання ряду функції прогину
q=q0=const
=
25. Поперечний згин пластин, дві протилежні сторони яких шарнірно оперті (рішення м. Леві в одинарних тригонометричних рядах).
Розв’язок Л. Нав’є, розглянутий в попередньому параграфі, придатний тільки для прямокутних пластинок, шарнірно обпертої по контуру. Більш загальним є розв’язок М. Леві. Він придатний для прямокутної пластинки, два протилежних краї якої шарнірно обперті, а два інших мають будь-яке закріплення (защемлення, шарнірне обпирання) або вільні.
У пластинки, зображеної на рис. 5.12, шарнірно обпертими є краї OC і AB.
Рис. 5.12. Пластинка із двома шарнірно обпертими краями
Граничні умови на цих краях такі:
при й |
(а) |
Щоб виконати ці умови, функцію прогинів можна взяти у вигляді
(б) |
де Y — довільна функція одного аргументу y; .
Тому що при й , то функція (б) задовольняє умовам (а) відносно прогинів. Щоб перевірити умови (а) для згинальних моментів, підраховуємо другі частинні похідні функції прогинів (б) по x і y:
(в) |
При й ці похідні, аналогічно самій функції, звертаються в нуль і, отже, умови (а) відносно згинаючих моментів також виконуються.
Функція (б) повинна задовольняти основному рівнянню вигину пластинки. Підставляючи її четверті похідні в рівняння (5.15), одержуємо
(г) |
Для розв’язання рівняння (г) розкладемо його праву частину в тригонометричний ряд Фур'є по синусах:
(д) |
Коефіцієнти ряду Фур'є є тут функцією y. Тому що розкладання виконується на відрізку , то їх визначають по відомій з курсу математичного аналізу формулі
(е) |
Підставимо ряд (д) у рівняння (г):
Виносячи знак підсумовування за дужки, одержуємо
Ця умова виконується, якщо кожний член ряду дорівнює нулю:
або
(ж) |
Розв’язок однорідного диференціального рівняння четвертого порядку (ж) дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Однорідне рівняння має вигляд
(з) |
Його розв’язок можна представити так:
(и) |
Позначивши частинний розв’язок рівняння (ж), одержимо його загальний розв’язок:
(к) |
Підставляючи функцію у формулу (б), знаходимо
(л) |
Функція є розв’язком рівняння (5.15) у випадку поперечного навантаження , розподіленого на поверхні пластинки за будь-яким законом, і, як показано вище, задовольняє граничним умовам на шарнірно обпертих краях OC і AB.
Розглянемо побудову частинного розв’язку . Відповідно до правила Коші, частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння четвертого порядку виражається інтегралом
(м) |
де — права частина розв'язуваного рівняння, що визначається виразом (е) при заміні аргументу y на t, а — частинний розв’язок відповідного однорідного рівняння. Воно задовольнить умовам
(н) |
При розгляді однорідного рівняння (з) відповідно до формули (і) отримані чотири незалежних частинних розв’язки: , , , . З них умовам (н) задовольняє тільки наступна комбінація:
(о) |
Замінивши у функціях (о) і (е) аргументи й підставивши ці функції у формулу (м), одержимо шуканий частинний розв’язок рівняння (ж):
Для визначення довільних сталих , , і використовуємо граничні умови на краях OA і BC. Розглянемо пластинку, у якої ці краї жорстко затиснені (рис. 5.12). Тоді маємо наступні граничні умови:
при й
Підставивши в них функцію прогинів (б), одержимо:
Тому що ці умови повинні виконуватися при будь-яких значеннях аргументу x, то
(п) |
Вносячи в умови (п) функцію (к), одержуємо систему рівнянь для визначення сталих:
звідки
При інших закріпленнях країв OA і BC виходять інші значення сталих.
Ряди у функції прогинів і її похідних сходяться значно швидше, ніж тригонометричні ряди в розв’язку Л. Нав’є, тому розв’язок М. Леві більш зручний в практичних розрахунках навіть прямокутної пластинки, шарнірно обпертої по всьому контурі.