Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению (рис. 2.3.21). Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Рис. 2.3.21

Неподвижная кривая m(m₁ m₂), по которой скользит образующая l(l₁l₂), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l (рис. 2.3.21). Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения - его основаниями (рис. 2.3.22, 2.3.23). Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают: Рис. 2.3.22

1) круговые - нормальное сечение круг (рис. 2.3.22); 2) эллиптические - нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.23); 3) параболические - нормальное сечение парабола; 4) гиперболические - нормальное сечение гипербола; 5) общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида (рис. 2.3.20). Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (2.3.22, а). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным (рис. 2.3.22, б, 2.3.23, б, в). Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами (сечения плоскостями (₂) и '(' ₂) на рис. 2.3.22, а). На рис. 2.3.22, б изображен наклонный цилиндр, основаниями которого являются косые сечения (эллипсы). Рис. 2.3.23

Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае - эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг. Эллиптический цилиндр имеет две системы круговых сечений (построение их рассмотрено в гл. 4). На рис. 2.3.23, а показаны плоскости Г(Г₂) и Г'(Г'₂), пересекающие эллиптический цилиндр по окружностям. На рис. 2.3.23, б, в выполнены чертежи наклонных эллиптических цилиндров, основаниями которых являются их круговые сечения.

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рис. 2.3.24). Рис. 2.3.24

Неподвижная кривая m(m₁,m₂), по которой скользит образующая l(l₁,l₂), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S(S₁,S₂), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется "особой точкой поверхности". Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S. Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии. Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

Рис. 2.3.25

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают: 1) круговые - нормальное сечение круг (рис. 2.3.25); 2) эллиптические - нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.26) и другие. Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение - наклонным. Прямой круговой конус изображен на рис. 2.3.25, а, наклонный круговой конус - на рис. 2.3.25, б. Основанием такого конуса может быть только эллипс (см. раздел 4), ось его не проходит через центр основания. Прямой эллиптический конус показан на рис. 2.3.26, а. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Построение круговых сечений поверхностей второго порядка рассматривается в разделе 4.3.

Рис. 2.3.26

Если принять одно из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рис. 2.3.26, б). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания. Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).