5. Оценка апостериорной погрешности.

Мы записывали априорные оценки главного члена погрешности в виде R₀ = Ah^p, (1) где A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подинтегральной функции; h – шаг интегрирования, p – порядок метода. Такого сорта оценку можно применить не только к методам интегрирования, но и ко многим другим численным алгоритмам.

Первая формула Рунге.

Пусть w – точное значение, к которому должен прийти численный метод (мы его не знаем). Результат численного расчета дает нам величину w_h такую, что . (2)

Теперь вычислим ту же величину w с шагом kh, где константа k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент A будет одинаковый, так как вычисление осуществляется одним и тем же методом. Получаем . (3)

Приравняем правые части выражений (2) и (3) и пренебрежем бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости.

. Отсюда, учитывая (1), получим . (4) Эта формула, выражающая апостериорную оценку главного члена погрешности величины w путем двойного просчета с разным шагом, носит название первой формулы Рунге. При уменьшении шага главный член погрешности будет стремиться к полной погрешности R.

Вторая формула Рунге.

Так как модуль и знак апостериорной погрешности из формулы (4) известны, можно уточнить искомое значение . Это вторая формула Рунге. Однако теперь погрешность w_corr не определена, известно лишь, что она по модулю меньше R₀.

Алгоритм Эйткена.

Способ оценки погрешности для случая, когда порядок метода p неизвестен. Более того, алгоритм позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого в третий раз вычислим значение величины w с шагом k²h:

. (5)

Приравняем правые части выражений (5) и (3): . Отсюда:

. Подставим сюда значение R₀ из (4):

. Из этой формулы определяем знаменатель для (4). Кроме того, определяем порядок . Для правильно реализованных алгоритмов методов априорных и апостериорных порядки должны получиться совпадающими. Программная реализация формул Рунге позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. Пример – уже рассмотренная ранее формула Ромберга.

6. Численное дифференцирование.

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином) , для которой приближенно полагают .

Численное дифференцирование – некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий (осциллирующий) вклад неустранимой погрешности исходных данных – значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении ­– «разболтка» решения: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага.

Пусть введена как интерполяционный многочлен Ньютона. В этом случае для произвольной неравномерной сетки:

, для i = 0,1…n-1, интерполяция полиномом первой степени.

, интерполяция полиномом второй степени.

В общем случае . Минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k + 1.

Оценка погрешности при численном дифференцировании может быть осуществлена по формуле , где n ­– число узлов функции, k – порядок производной.

На практике чаще всего используются упрощенные формулы для равномерной сетки, при этом точность нередко повышается. Часто используются следующие формулы для трех узлов:

, где h = x₁ – x₀ = const.

.

Исходя из общего вида интерполяционного полинома можно вывести формулы для более высокого порядка точности или для более высоких производных.