Тема 25. Матричные и кооперативные игры

Матричные игры с седловой точкой

Задача 3.1.1. Автомобильный концерн “Кайзер”, выпускающий мощный автомобиль “Родео” с большим расходом топлива, столкнулся с определенными трудностями, вызванными давлением на рынке конкурирующего концерна “Топаз”. Эксперты выделили следующие основные стратегии на рынке:

А1 – продолжать выпуск “Родео”;

А2 – перейти к выпуску малолитражного автомобиля;

А3 – внедрить среднелитражный автомобиль нового поколения;

Конкурирующий концерн “Топаз” располагает 3 возможными стратегиями:

В1 – внедрить на рынок свой новый автомобиль-малютку;

В2 – разработать автомобиль среднего класса;

В3 – продолжить выпуск старого автомобиля с мощным мотором и большим расходом топлива.

Варианты возможных матриц выигрыша концерна “Кайзер” даны ниже. (При этом предполагается, что выигрыш одного конкурента равен проигрышу другого).

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

	В1	В2	В3			В1	В2	В3			В1	В2	В3			В1	В2	В3
А1	-2	1	5		А1	6	-1	2		А1	-2	1	5		А1	7	1	7
А2	4	0	2		А2	3	2	4		А2	5	2	4		А2	9	-1	1
А3	3	2	3		А3	5	1	3		А3	4	0	1		А3	5	4	6

Найдите оптимальные стратегии для обоих конкурентов и цену игры. Укажите, если она есть, седловую точку.

Графическое решение матричной игры

Задача 3.2.1. Охранник магазина следит за кассой, которая находится в торговом зале, или за сейфом, расположенным в служебном помещении. Предполагаемый преступник может воспользоваться одним из 2-х планов действия:

1-ый план: проникнув под видом покупателя в торговый зал, неожиданно напасть на кассира и, взяв деньги из кассы, попытаться скрыться на автомобиле;

2-ой план: через потайную дверь проникнуть в служебное помещение и, вскрыв сейф и забрав выручку, скрыться через ту же потайную дверь.

Пусть в кассе находится сумма S₁ тыс. руб., в сейфе S₂ тыс.руб. Данные приведены в таблице 3.2.1.

Таблица 3.2.1

№ варианта	1	2	3
S1	20	10	20
S2	30	20	50

Составьте матрицу выигрышей грабителя.

1. Найдите верхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найдите оптимальные смешанные стратегии игроков графическим методом.

Задача 3.2.2. Фирма ”Попса” планирует выпустить запись концерта популярного певца Незванова в двух видах: на диске (D) и на видеокассете (V). Объем продаж и прибыль зависят от спроса, который может быть в одном из нескольких состояний S_i, связанных различными стратегиями основного конкурента фирмы.

Вероятности этих состояний не прогнозируемы.

Возможное значение прибыли фирмы при сочетании ее стратегии со спросом приведены ниже.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

	S1	S2	S3		S1	S2	S3		S1	S2	S3	S4		S1	S2	S3	S4
D	10	30	12	D	3	26	6	D	9	6	4	3	D	1	3	6	9
V	40	10	22	V	27	8	18	V	1	2	6	9	V	7	5	3	2

1. Определите графически оптимальную смешанную стратегию фирмы.

2. Найдите наихудшую для нее смешанную стратегию конкурента.

Решение игры симплекс-методом

Задача 3.3.1. Завод планирует выпуск двух видов телевизоров А₁ и А₂, прибыль от продажи которых зависит от возможных состояний спроса S₁, S₂, S₃. Матрицы выигрышей (прибыли) завода в зависимости от вида телевизора А_i и спроса S_j даны ниже по вариантам.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

	S1	S2	S3		S1	S2	S3		S1	S2	S3		S1	S2	S3
A1	2	3	4	А1	3	2	4	A1	1	4	2	A1	2	2	4
A2	6	5	3	A2	1	3	2	A2	4	2	1	A2	4	1	2

1. Решите игру графически.

2. Решите игру симплекс-методом.

Игры с природой

Задача 3.4.1. АО “Злаки” имеет 3 стратегии закупки крупной партии зерна: на внутреннем рынке России (А₁), в Казахстане (А₂), в Канаде (А₃). Эксперты фирмы определили, что возможны 4 складывающиеся на рынке зерна рыночные конъюнктуры. В₁, В₂, В₃ и В₄, отвечающие сочетаниям факторов: курсов валют, курса рубля, урожаев зерновых, индексов деловой активности крупнейших мировых бирж и т.д.

Возможная прибыль АО при той или иной конъюнктуре приведены в таблицах.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

	В1	В2	В3	В4		В1	В2	В3	В4		В1	В2	В3	В4		В1	В2	В3	В4
А1	3	5	6	8	А1	3	2	4	1	А1	6	4	7	5	А1	3	9	5	2
А2	9	6	4	2	А2	2	3	3	4	А2	5	8	4	7	А2	8	7	3	5
А3	5	8	5	4	А3	1	4	1	2	А3	8	6	5	3	А3	7	8	4	3

Определите оптимальную стратегию закупки зерна.

1) по критерию Вальда,

2) по критерию Севиджа,

3) По критерию Гурвица с показателем пессимизма

4) по критерию максимального среднего выигрыша, если экспертные оценки вероятностей конъюнктуры рынка составляют р₁, р₂, р₃, р₄

№ варианта	р1	р2	р3	р4
1	0,1	0,2	0,4	0,3
2	1/8	1/4	3/8	1/4

Кооперативные игры

Для кооперативной игры, заданной характеристической функцией V(S) на множестве игроков {A, B, C}, найти с-ядро:

a)

Коалиция S	A	B	C	AB	BC	CA	ABC
V(S)	3	5	4	9	10	9	16

б)

Коалиция S	A	B	C	AB	BC	CA	ABC
V(S)	5	2	6	8	11	11	18

Литература: [4, 10, 15, 17]

Учебно-методическая литература [8]