УДК 519.5

РАЗМЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

(Обзор)

Л. А. ГУСЕВ, И. М. СМИРНОВА

(Москва)

Излагаются основные понятия теории размытых множеств, разрабо­танной Задэ и получившей развитие в ряде зарубежных работ. Приво­дится ряд определений теории размытых множеств, теории размытых языков и грамматик, размытых алгоритмов и автоматов. Описываются некоторые попытки применения методов теории размытых множеств к задачам теории управления, обучения, автоматической классификации.

Введение

В теории информации, лингвистике, в задачах обучения, автоматиче­ской классификации, принятия решений, построения систем управления в 'во многих иных областях имеет место ситуация, когда объекты исследова­ния, условия задачи и цели не могут быть описаны точно. Неточность из­мерения и, как следствие, нечеткость описания реальных объектов являет­ся естественной; однако, несмотря да такую нечеткость, в реальных ситуа­циях обычно удается получать определенное представление об этих объ­ектах и решать поставленные задачи.

Обычно неточность и неопределенность считаются статистическими,.

случайными характеристиками и учитываются при помощи методов теории вероятностей. В реальных же ситуациях источником неточности часто яв­ляется не только наличие случайных величин, но и принципиальная невоз­можность оперировать точными данными вследствие сложности системы, неточности ограничений и целей. При этом в задачах появляются классы объектов, не имеющие четких границ; нечеткость таких классов выражает­ся в том, что элемент может не только принадлежать или не принадлежать некоторому классу, но возможны также и промежуточные степени принад­лежности.

В качестве примера таких классов можно привести класс натуральных

чисел, «значительно» превосходящих некоторое число 2У, или же класс дей­ствительных чисел, приближенно равных числу N. Оба эти класса, очевид­но, не являются точно заданными множествами из-за наличия в их опреде­лениях терминов «значительно» и «приближенно». То же можно сказать о классе всех высоких, или молодых, или талантливых людей.

В работах [1—15] введены основные понятия, построены основы тео­рии нечетких или размытых множеств (гнггу йо^а) и намечены основы

направления приложения этой теории.

В реальных ситуациях, особенно в проблемах классификации изобра­жений, размытость является скорее правилом, чем исключением. Можло предполагать, что теория размытых множеств может быть применена в этих

66

^''"^^^^^««•ХВ.У.^Эрг-Я!'''»!"!"»^.)- -,¹;^ .

ситуациях по меньшей мере так же, а может быть, более успешно, чем . методы, которые используются сейчас. Основные понятия и определения теории размытых множеств приводятся в следующем разделе.

1. Основные определения

Задэ определяет размытое множество как отображение множества Х на единичный интервал. Имеется в виду следующее.

Пусть Х — некоторое множество Х = {ж}. Размытое множество 8 на Х задается функцией принадлежности р,в : Х ->- [0,1], которая ставит в соот­ветствие каждому х^Х действительное число в интервале [0, 1] *.

Число р,э (ж) называется степенью принадлежности х размытому мно­жеству 8. Чем ближе значение р,в (х) к единице, тем выше степень принад­лежности х к 8. Функция принадлежности является, очевидно, обобщением характеристической функции обычной теории множеств, принимающей лишь два значения: 1 для элементов, принадлежащих множеству, и 0 для элементов, не принадлежащих множеству 8. В случае дискретных мно­жеств Х применяется запись размытого множества 8 как множества пар:

5-{(ж,^(ж))}.

Например, для класса чисел, значительно превосходящих число N == 10, может быть выбрана функция принадлежности

(ж-10)² / Некоторые значения этой функции таковы:

МЮ) =0; ^(50) »0,6; ^(100) »0,9; М500) » I.

При этом размытое множество 8 может быть записано как множество пар:

5 ={..., (10; 0),..., (50,0,6)....,(100; 0,9)...., (500; 1),...}.

В общем случае выбор функции принадлежности ЦаО^) субъективен и основан на частичной информации, имеющейся в каждом отдельном слу­чае (подробнее об этом см. в разделе 4). у '

Следующим шагом в построении теории размытых множеств является определение операций над размытыми множествами, аналогичных опера­циям для обычных («неразмытых») множеств; Вводимые операции, пере­численные ниже, с одной стороны, имеют общие черты с соответствующи­ми операциями классической теории множеств, переходя в них в предель­ном случае, когда функция принадлежности принимает лишь два значе­ния 0 и 1; с другой стороны, эти операции обладают определенной специ­фикой и, в известной степени, определены произвольно. Ниже приводятся определения основных операций над размытыми множествами.

Эквивалентность. Два размытых множества А и В эквивалентны (4 = В) тогда и только тогда, когда для всех х <= Х имеет место

|1д(ж) = Цв(д).

Включение. Размытое множество А содержится в размытом множест­ве 5, или, иначе, является подмножеством множества В (А <= В) тогда и только тогда, когда для всех х<=Х имеет место ^(.х) ^ р,в(ж).

Например, размытое множество А всех целых чисел, значительно пре­восходящих число 10, функция принадлежности которого определена вы­ражением (1.1), содержится в множестве В (является подмножеством мно­жества В) целых чисел, значительно превосходящих 1, функция ^в(а") ко-

* Гоген в 1966 г. расширил понятие размытого множества, введя более общее понятие—Ь-размытое множество, для которого [Хе : Х-»-2<, причем интервал Ь может быть отличен от [0,1] (см. [16—18]),

5* Ш

торого задана выражением

-I

,1.2) ^)-(1+^^)'

10

Очевидно, что \1л(х) ^ ^в(х). _ Дополнение. Размытое множество 8 является дополнением размытого

множества 8, если |Аа (ж) == 1 — ^а (ж).

Например, для множества В из предыдущего примера дополнением бу­дет множество В чисел, не отличающихся значительно от единицы, для

которого

(/у _ -П2 \-1

(1.3) ^(х)= ^+^{х-^ •

Для определения следующих двух основных операций объединения и пересечения используется характерная для теории размытых множеств

операция отыскания максимума или минимума.

Объединение. Объединение Л и В двух размытых множеств А и В определяется как наименьшее размытое множество, содержащее оба мно­жества А и В. Функция принадлежности множества А и В определяется

выражением (1.4) ^Аив(ж) ==тах (^(ж), ^в(ж)).

Пересечение. Пересечение А П В двух размытых множеств А и В опре­деляется как наибольшее размытое множество, являющееся одновременно подмножеством обоих этих множеств. Функция принадлежности множества

А П В выражается формулой

' ^\ —— ^/" (т\ ^(х}}.

(1.5) Ц'Апд(ж) ==тш (р,А(а;),р,в(ж)).

•Часто используется также сокращенная запись

^лив(ж) = (Ал(-с) V ^в(ж), ^Апв(а-) = ил (ж) Д ив (ж),

(1.6)

\^АГ\в(Х) — [Л.А\Л/ / \ уч,^-, ,

где вместо 'операторов шах и наш вводятся соответственно символы

УиЛ*.

В работе [19] формулы (1.4) и (1.5) для объединения и пересечения

размытых множеств обоснованы следующими соображениями.

Множества А I) В, А П В должны определяться только через исходные

множества А и В. Это означает, что функции принадлежности илив(ж),

.^лг[в(,х) зависят только от \Ил(х) и Цв(ж), т. е. ' - '•'-. /^\ „,(т\\

(1.7)

\^А[\в{Х) —— ^\\ЛА\Л1, у.ы\~, 1 .

Относительно функций / и § делаются следующие естественные пред­положения:

1. У и § — неубывающие функции своих аргументов.

2. / и § симметричны, т. е. /(аг,у) ==/(у,ж) и §(х, у} =² §(у,х). ^

3. Да;, ж) и ё{х,х) —строго возрастающие функции х.

4. Дж, у) ^ тш (ж, у) и ^(ж, у) ^ тах (ж, у).

5.Д1,1)=1, ^(0,0)=0.

6. Логически эквивалентные выражения должны иметь одинаковые

функции принадлежности, например

«

[ААп(вис) \х) = (1(Апв)и(Апс)(-с).

* Встречаются также обозначения П иц (см., например, [18]).

68

При этих предположениях, естественность которых иллюстрируется примерами, операции (1.4) и (1.5) определяются однозначно. В предель­ном случае, когда функции принадлежности р,л и [Ав принимают лишь значения 0 и 1 (т. е. множества 4 и В не являются размытыми), формулы (1.4) и (1.5) совпадают с обычными теоретико-множественными опера­циями объединения и пересечения.

В [19] показано, что операция дополнения при сделанных выше пред­положениях относительно функции принадлежности и некоторых допол­нительных предположениях о характере самой операции не является столь же хорошо аргументированной и выбор этой функции, вообще говоря, про­изволен.

Алгебраическое произведение АВ размытых множеств А и В опреде­ляется следующим образом:

(1.8) р-Ав(ж) = (АА(ж)-|Ад(а;).

Для алгебраической суммы А® В функция принадлежности выражает­ся формулой

ц.А®в(ж) = [1А(ж) + ^в(ж) — и,А(а;)р,в(а:).

Размытое множество А называется выпуклым, если для любой пары элементов из Х функция принадлежности р,л(ж) удовлетворяет условию

М^+ (1-^)у) >тт(цА(ж),1АА(у)) (О^Х^1).

Размытое множество называется вогнутым, если выпукло его до­полнение.

В [15] дается определение понятия центральной тени размытого мно­жества. Пусть рй и Я — соответственно точка и гиперплоскость в Е", а Ь — прямая, проходящая через ро и пересекающая Н в точке х. Центральная тень размытого множества А на гиперплоскость Я есть размытое множе­ство на Я, функция принадлежности которого [ан (ж) определяется следую­щим образом:

(1.9) ^ы(ж)==тах(АА(г/), же Я,

цн(ж)=0, хФН.

Частным случаем центральной тени является ортогональная тень, т. е. центральная тень для случая, когда точка ра удалена от гиперплоскости Я на бесконечное расстояние.

В [15] рассматриваются тени объединения и пересечения размытых множеств, устанавливается инвариантность свойства выпуклости размыто­го множества при проецировании, решается задача определения размытого множества по совокупности его теней.

В теории конечных автоматов, алгоритмов, языков и грамматик имеет большое значение операция отношения. В основе размытых аналогов этих объектов лежит операция размытого отношения двух или более размытых множеств.

Понятие размытого отношения введено в работе [8]. Размытое п-арное отношение Н в пространстве X» Х Ха X.. .X Х„ есть размытое множество и == {(а-1, Жг,..., а;„), р,н(ж1, Жг,..., ж»)}, ж,. е X», Хг е Ха,..., ж„ е Х„, кото^-рое характеризуется функцией п переменных и,в, ассоциирующей каждой упорядоченной . га-ке (жц Жа,..., Хц) степень ее принадлежности Р-в (а"1, а;г,.,., ж„) множеству Д.

Пример. Пус'я> Х = У == Е¹ — множество точек действительной пря­мой. Тогда К == {{х, у, (Ад (ж, у)) \х > у} будет размытым отношением в пло­скости Х Х У == Е². Функция принадлежности, характеризующая это мно-

жество, может быть выбрана, например, так:

/ 10 \-* „ * (1.10) ^(а;.у)=^1+. _ .) приа;>у, у^О,

^в(ж, у) ==0приа;< у.

Поскольку размытые отношения являются размытыми множествами, для них могут быть определены соответствующие операции дополнения,

объединения, пересечения и т. д.

При рассмотрении размытых конечных автоматов и грамматик суще­ственно используется операция произведения или композиции А ° В двух отношении А и В [8, 20]. Пусть А и В—бинарные отношения в простран­стве XXX. 'Композиция А" В определяется как размытое отношение в Х Х X, функция принадлежности которого может быть выражена через функции принадлежности каждого из отношений А и В следующим об­разом *:

<1.11) ^Аов(ж<,а:э)==тах1шп(р,А(а:„у), (Ав(у,Ж1)), У^Х,

V

(1.12) ЦА.в(Я(,ж,)=тш1аах(|АА(а;<,у),Цв(у,а;э)), у <= X.

V

Первое из этих определений дано Задэ в [8], второе—в работе [20]. Они используются равноправно для построения различных типов автома­тов и грамматик [18, 20, 211. В случае, когда в основу построения тех или иных объектов кладется операция композиции ", т. е. операция «максими-на», соответствующие объекты называют иногда «пессимистическими»;

если же за основу берется операция «минимакса», объекты называют

«оптимистическими» (см., например, [21—23]).

В [18] вводится понятие уровневого множества, которое используется

для установления связи между размытыми и неразмытыми множествами

при изучении размытых грамматик и автоматов.

Пусть А — размытое множество на множестве X. Для параметра

\е [0,1] определяется ^-уровневое множество А\ как неразмытое множе­ство, включающее все те элементы множества X, степень принадлежности которых множеству А больше или равна ^, т. е. а). = [х\ [ла^) > К}. Мно­жества а), образуют вложенную систему подмножеств множества X, при-

чем К ^ К' -ч- 4». с Лу.

Показано, что размытое множество А может быть записано в форме

(1.13) Д=и?.А. (0<Х<1),

>,

где под произведением ка), понимается приписывание степени принадлеж­ности Х каждому элементу неразмытого множества Ли.

Введение понятия размытого множества и формализация основных опе­раций на языке размытых множеств приводит естественным образом к идее обобщения классической теории множеств для размытых множеств. Воз­никает задача: найти «размытые» аналоги теорем классической теории множеств. Ряд работ посвящен развитию алгебраических аспектов теории размытых множеств ,(см. [8, 16, 18—24]), соотношениям между алгеброй размытых множеств и классической алгеброй множеств, а также некото­рым вопросам топологии размытых пространств [25, 26].

В [27] изучается размытое бинарное отношение Д на XXX, которое

является рефлексивным и симметричным:

/- -\ — 1 „,/г 7^ == ив(.у,а:), х,уб=Х.

уи^уА^/л.*.-^.-^——__ .

\лк{х, х) " 1, ^д(а;, у) = р,в(у, х), х, у е X.

* Более общими являются выражения (см., например, [20]);

р.аов (.я, X)) = зир 1шп(щ {жг, у}, р,а ({/, X)}), у<==Х, »

Щ*д (.Я, X)) «в= 1п! шах (р.а (ая, у), Ив (у, а<)), У 1= X.

» . '

70

-арная композиция этого отношения определяется путем повторяого денения выражения (1.11)

Цй~.д.'Г.Тй (а", У) == И в» (^а;» У) ^{= шах тш} (Ря (ж, .Г!), (ай (Ж1, а-а), ...

•——^— х„я„.„..х„

...,(Ан(а;п-г,у)).

Из цепочки неравенств 0 ^ Цд < р,я² < ... ^ 1 следует существование едела

|1.14) Мп(х,у)^Ит^(х,у).

р^ ' ' п-»-со

1 В [28] изучается отношение Мц{х, у)\ в частности показано, что уров-

рвевое множество {(х,у) \Мц(х,у) ^ К} определяет отношение Л», (не раз-

рсйтое!), являющееся отношением эквивалентности.

В работе [18] отношения эквивалентности, подобия,, упорядочивания юбщаются для размытых множеств. Основное содержание работы состав-ввт исследование размытых отношений подобия и упорядочивания, кото-не являются размытыми транзитивными отношениями., Работы [29, 30] являются теоретическими работами, посвященными

Изучению размытой логики. По аналогии со степенью принадлежности,

|в размытой логике вводится истинностная функция

|1Л5) Г(4)е[0,1],

|где А — элемент множества высказываний 8. Делаются сопоставления раз-|мытой и обычной (не размытой) логик, исследуются вопросы выводимости |й непротиворечивости в размытой логике. В [29] доказывается важная Цгворема, позволяющая делать оценку истинностной функции следствия, | исходя из величин истинностных функций аксиом. | Работа [31] также связана с исследованием размытой логики, но носит |<>олее прикладной характер.

I В [32] рассматриваются размытые множества, зависящие от времени. ^Исследуются некоторые вопросы топологии и проектирования таких мно­жеств, изучаются зависящие от времени отношения, по-видимому, пред­ставляющие Интерес в задачах автоматической классификации и планиро­вания. '