19 Информационный анализ . Нти . Сер. 2 . № 10 . 1976

З*

Определение 11. Отнопгеине А в пространстве Х назы­вается отношением размытого •чайтичного порядка (или размытым частичным порядком, или раамвытым нестро­гим порядком), если оно рефлексивно: ^л{х, х)=1 для всех л:;'антисимметрично: ^л(х, у)>0&!л{у, х)>й->-х=у для всех х, у; траиэитивно': ^л{х, г}'^тгаутт[{А(х, у), }л(у, г)] дян воеэс х, у, г.

В качестве примера приведем матрицу отношения раз­мытого частичного сторядка, яа множестве из шести эле­ментов ю 'его 'граф (рис. 4):

0,8 0,2 0,6 0,6 0,4

0,6	0,6	0,4
0	0,6	0
0	0,5	0
1	0,6	0,4
0	0	1

Рис. 4

Основное свойство отношения равмытого частичного порядка следующее:

Пусть А=иАд к 0<а^1 является условием рааре-

а

шимасти множества с введенным на нем, отношением размытого таавдичяскго порядка А. Тогда каждое отно­шение Аа, является частичным порядком в X.

Определение 12. Отношение размытого частичного порядка называется совершенным, если] для любой пары (х, у) верно либо }л(х, у)>0, либо }л(у, х)>0.

Определение 13. Отношение Л в Х называется отно­шением размытого квааипорядка' (в другой терминоло­гии—размытым предпюрядком), если оно рефлексивно я транзитивно.

'Приводам пример этого отношения, заданного в мат­ричной форме (отношению размытого квавипорядка соответствует полный граф).

1	0,8	1	0,8	0,8	0,8
0,2	1	0,2	0,2	0,8	0,2
1	0,8	1	0,8	0,8	0,8
0,6	0,9	0,6	1	0,9	1
0,2	0,8	0,2	0,2	1	0,2
0,6	0,9	0,6	0,9	0,9	1

Соответствующее условие разрешимости записывает­ся в виде:

А = 0,2Ло,2 + ^о'^6Ао,6 + "-^в + ^^о.э + ^1Л! • . Определение 14, Отношение А в Х называется отно­шением размытого строгого порядка, если оно антиреф­лексивно: /д (х, у) >0-»-х Фу\

транзитивно: }л(х, г)>тах„тт[/А(ж, у), }л(у, г)}. Содержательными примерами размытого строгого порядка могут служить размытое отношение < для целых или вещественных чисел и размытое отношение включения сг для множеств.

Определение 15. Отношение размытого строгого по­рядка А 'в Х называется совершенным (линейным), если для всякой пары несовпадающих элементов х, у верно

/А(х.у)>0\/^^у,х)>0.

Условие разрешимости для размытых строгих поряд­ков позволяет задавать множества с введенными на ними отношениями строгих порядков.

Рассматривая операции для отношений размытого порядка, можно проверить выполнимость ряда лемм и теорем, доказанных в [10] для строгой и нестрогой упорядоченности. В частности:

— если отношение А является размытым строгим порядком (размытым нестрогим, размытым квазипо­рядком), то и отношение А-' является размытым стро­гим порядком (соответственно, размытым нестрогим порядком, размытым кэазипорядком);

— если А, В — размытые строгие порядки (размы­тые нестрогие порядки, размытые квазипорядки), то апд также является размытым строгим порядком (соответственно, размытым нестрогим порядком, раз­мытым ивазипорядком).

И, наконец, попытаемся определить отношение раз­мытого древесного порядка. Пусть имеется множество Х с отношением размытого строгого порядка А (обоз­начим <). С каждым элементом х, ^Х ассоциируется два размытых множества (так называемые подчиня­ющий и подчиненный классы):

—подчиняющий класс, обозначенный а>[^{], оп­ределяется через функцию вхождения следующим об­разом:

/Л>р,] (-^г/) ⁼ /Л (^х" ^х')- ^{где х}^^х\

— подчиненный класс, обозначенный А<[Хг\, опре­деляется через функцию вхождения:

В терминах этих классов х, называется:

неподчиненным, если {л{х1.х,) ==0 для всех х^х^, неподчиняющим, если {л(Х},х^)=0 для всех х^Фх,. Элемент Ху мы будем называть наибольшим, если он является неподчиненным для всех х,^=Хо. В силу ан­тисимметричности А наибольший элемент (если он су­ществует) единствен.

Отношение размытого стртогрго порядка < на множе­стве Х называется отношением размытого древесного порядка, если:

1) из того, что Хг<х, и Х1<х^, следует, что х, и х^ сравнимы;

2) во множестве (X, <> существует наибольший элемент.

Тогда множестве Х с заданным на нем древесным порядком, т. е. пару <Х, <>, называют размытым де­ревом, а наибольший элемент — корнем дерева.

Условие (1), как и в случае обычного древесного порядка, означает, что для любого элемента х^ Х на множестве элементов, больших х, исходный размы­тый древесный порядок превращается в размытый со­вершенный.

Заметим, что рассматривая отношение размытого по­добия на множестве Х объектов, мы по существу по­лучаем упорядоченное асимметричное дерево — множе­ство Х с заданными на нем отношением древесного порядка (с:) на уровневых множествах Ад и отноше­нием размытого строгого порядка (<) между объек­тами.

И в заключение приведем формулировку теоремы о существовании биективного отображения о между множествами с различными размытыми порядками (до­казательство см. в [3]).

Теорема, Пусть Р—размытый частичный порядок на множестве X. Тогда существует размытый совер-шеный строгий порядок I, в равномощном множестве 7. и биективное отображение ет: Х—г-7, так, что

V (х. у) ёХ&/р (х. у}> 0-^/^(0 (х), а {у)) =/р{х. у).

нти

20 СЕР. 2 . № 10 . 1976 . ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Графическое построение I. и о на ряс. 5 иллюстрирует теорему (использован пример, приведенный к опреде­лению 10).

Рис. 5

Наиболее полно математический язык описания раз­мытых множеств и алгоритмов, а также вопросы при­менения его для формулирования и приближенного решения некоторых практических задач теории управ­ления, в частности, при исследовании задач принятия решений представлены в [5, 12].

В качестве примера информациояных задач укажем один возможный тип, использующий аппарат теории размытых множеств и размытых отношений, а имен­но: задача автоматического разбиения объектов на классы (идея размытой одноуровневой классификации изложена в [13]).

1. О б ъ е т ы — документы массива деск-

рипторнойИПС.

А. Задача—формирование тематических классов с указанием степеней вхождвнаа документов, -(ис­пользуется понятие размытого множества и теоремы отделимости).

Б. Задача — определение тематических границ серий сигнальных указателей при работе АСИО в режи­ме текущего информирования (в качестве выборки используются релевантные документы). Задача — обучение ЭВМ распознаванию релевант­ных документов в формальной выдаче (использует­ся понятие транзитивного замыкания размытого отношения подобия).

В.

Объекты — запросы потребителей д е -скрипторной ИПС.

2.

А. Задача — формирование перечня запросов, как вспо­могательного ИПЯ, служащего для подключения потребителей АСИО, обслуживаемых в режиме ИРИ.

Задача—формулирование типовых поисковых пред­писаний (выбор эталона).

Б,

3.Объекты — информационные службы, заданные набором показателей, харак­теризующих выполняемые информаци­онно-технические процессы. А. Группирование информационных служб и выработ­ки типового объекта в задачах планирования и проектирования. 4. Объекты—поисковые файлы данных в

базахданных.

А. Задача—разбиение файлов на группы в целях ус­корения поиска в них.

Об эффективности применения методов теории раз­мытых множеств можно 'судить, когда на базе ее будет решено достаточное количество информационных задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. В и л ей к и н Н. Я., Ш рейдер Ю. А. Понятия ма­тематики и объекты науки. — «Вопросы философии»,

1974, № 2. 2 2.айеЬ Ь. А. Риггу ав\.&.—<;,1п{оппаиоп апД Соп1-

гоЬ, 1965, 8, № 3, рр. 338—353.

3. 2 а Я е Ь Ъ. А. 5мш1ап1.у Ке1а;ио.П8 апД Риггу ОгДе-ппвз.—«ГпЬгтаийп .Зсяепоеа», 197,1, 3, № 1—2, рр. 177—200.

4. Логинов В. И. О вероятностной трактовке функ­ций принадлежности Заде и их применение для рас­познавания образов.—«Известия АН СССР. Техни­ческая Кибернетика», 1966, № 2.

5. Заде Л. Основы нового подхода к анализу слож­ных систем и процессов принятия решения.—В кн.:

Математика сегодня (сборник переводных статей). М., «Знание», серия 7, 1974.

6. Владимиров Д. А. Булевы алгебры. М., «Нау­ка», 1969.

7. К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В. Элементы теории__ функций и функционального анализа. М., «Наука», .1972.

8. 3 а д е Л. Тени нечетких множеств. — «Проблемы передачи информации», 1966, 2, № 1.

9. N е § о 11 а С. Оп 1пе аррИсаиопв о! Ще {иггу &е15 зерагаНоп Йюогет ('от аоЬэпгайс с^аззЩсаЦоп. — •ДпЬппатюп 5с1епсй5», 1973, 5, № 3, рр. 279—283.

10. Ш рейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок.

М., «Наука», 1971. П.Вапник В. Н., Червоненкис Л. Я. Теория

распознавания образов. М., «Наука», 1974.

12. Гусев Л. А., Смирнова И. М. Размытые множества. Теория и приложения (обзор).—«Ав­томатика и телемеханика», 1973, № б.

13. Киаргт Е. Н. А пе\у арртоасЬ 1о с1иа1епп§.— «ЬпЬгтаУоп аш1 Соп1го1», 1969, 15, № 1, рр. 22— 32.

Статья поступила в редакцию 14 января 1976 г.

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ . НТИ . СЕР. 2 . Не 10 . 1976 21