3. Методы решения неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Для того чтобы решить неравенство, содержащее неизвестную под знаком абсолютной величины, можно разбить область допустимых значений неравенства на интервалы, в которых выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак. На каждом таком интервале решить неравенство (раскрыв предварительно знак абсолютной величины). Объединение полученных решений и будет являться решением первоначального неравенства

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Под знаком модуля стоит квадратный трехчлен, найдем промежутки его знакопостоянства: при и значения трехчлена неотрицательно; при значения трехчлена отрицательны. Учитывая это решим неравенство на каждом из полученных интервалов:

при имеем ,

откуда получаем ;

при имеем

и , откуда получаем ;

при , откуда получаем х = 4.

Объединив найденные на каждом интервале решения, получим решение первоначального неравенства: и х = 4.

Ответ: [1; 3], 4.

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. По определению модуля имеем совокупность двух систем:

Решая системы, получим: или . Окончательно получаем ответ.

Ответ: .

В общем случае неравенство вида в соответствии с определением модуля имеет решение только в случае, когда . Неравенство вида при выполняется во всей области определения функции .

Пример 8. Решить неравенство .

Решение.

1-й способ. Воспользовавшись определением модуля, получим совокупность двух систем:

Решая эти системы получим: и . Окончательно получаем

2-й способ. Введем новую переменную , получим неравенство не содержащее знаков модуля: . Решая полученное неравенство методом интервалов, получим: . Перейдем к переменной х: , откуда .

Ответ:

Если неравенство содержит несколько одинаковых выражений под знаками модуля (как это было в примере 8), то его удобно решать методом замены переменной.

4. Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 9. При всех а решить уравнение и определить, при каких а оно имеет ровно два решения.

Решение. Сначала воспользуемся алгоритмом, изложенным в замечании 5.

1. Найдем значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль: ; .

2. Нанесем найденные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:

х – 2: – – +

х + 3: – + +

3. Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

(1)

Исследуем решения этого уравнения в зависимости от параметра а.

Если а = –1, то (1) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (1) будут все . (2)

Если же , то из (1) х = –3, но это значение не входит в исследуемый интервал.

При уравнение будет иметь вид: , откуда имеем:

. (3)

Если а = 1, то (3) примет вид тождества 0 = 0, и решением уравнения (3) будут все . (4)

Если , то из (1) х = –3. (5)

При уравнение будет иметь вид:

Если а = –1, то полученное уравнение решений не имеет. (6)

Если , то . Выясним при каких значениях а полученное значение х будет входить в исследуемый интервал:

при , . (7)

При остальных значениях а на этом интервале уравнение решений не имеет.

Сделаем выводы по проведенному исследованию. Уравнение будет иметь различные решения при: ; ; ; а = 1; . Из (5) следует, что при корень уравнения х = –3; из (2) и (5) следует, что при решениями уравнения будут и х = –3; из (5) и (7) следует, что при решениями уравнения будут х = –3 и , именно на этом интервале уравнение имеет ровно два решения; из (4) и (7) следует, что при а = 1 уравнение имеет решения и = 2; из (5) следует, что при решением уравнения будет х = –3.

Ответ: при х = –3; при ; при х = –3, ; при а = 1 ; при х = –3.

Пример 10. При всех значениях а решить неравенство

Решение. 1. В соответствии с замечанием 6 неравенство при решений не имеет.

2. Пусть . Определим промежутки знакопостоянства выражения, стоящего под знаком модуля: ; ; .

3. Решим неравенство на каждом из полученных интервалов.

Если , то , следовательно, имеем или

. (1)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (1) равен , причем так как , . Поэтому квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (1) имеет два действительных корня. Решая неравенство (1) относительно переменной х, получим:

. (2)

Заметим, что при каждом положительном а верны неравенства

; . (3)

Окончательно на этом интервале, получаем, что для любого положительного а решением неравенства будут числа из интервала: .

Если , то , следовательно имеет место неравенство

. (4)

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства (4) равен . Тогда неравенство (4) при имеет место при любом действительном х.

Если квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства (4) имеет два действительных корня, поэтому, решая неравенство (4) относительно переменной х, получим: и . Заметим, при этом, что при справедливы неравенства:

. (5)

Тогда на этом интервале окончательно получаем: при решением неравенства является отрезок ; при решение неравенство состоит их двух промежутков: и .

Если , то , следовательно, имеем или

. (1)

Решая это неравенство на этом интервале, получаем: .

Сделаем выводы по проведенному исследованию: из п.1 следует, что при неравенство решений не имеет; учитывая неравенства (2), (3), (5) при решением неравенства являются интервалы: и ; учитывая (2) при неравенство имеет решение: .

Ответ: при неравенство решений не имеет; приимеет решения:

; ; при имеет решение: .