Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
1. Определение и свойства модуля действительного числа
Модулем действительного числа а
называется число
,
равное самому числу а, если оно
неотрицательное и противоположному
для а числу, если оно отрицательно.
Таким образом, по определению имеем:
Свойства модуля действительного числа:
-
;
5)
,
; -
;
6)
-
;
7)
; -
;
8)
.
Геометрический смысл модуля действительного числа:
Известно, что любое действительное
число а можно интерпретировать, как
точку на числовой оси. В связи с этим
геометрически
- это расстояние от начала координат до
точки а. При этом величина
задает расстояние между точками а и
b на числовой оси.
2. Методы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, могут быть использованы следующие методы:
-
раскрытие модуля по определению;
-
возведение обеих частей уравнения в квадрат;
-
разбиение области решения уравнения на промежутки знакопостоянства выражений, стоящих под знаком модуля.
Каждый из этих методов рассмотрим на конкретном примере и сделаем необходимые обобщения.
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение. 1-й способ. Воспользовавшись
определением модуля получим совокупность
двух систем: 1)
или 2)
.
Решим каждую из этих систем: 1)
;
2)
х = 0.
Ответ: х1 = 0;
.
2-й способ. Так как обе части уравнения
неотрицательны, то возведя их в квадрат,
получим уравнение равносильное данному:
,
учитывая свойство 3, будем иметь:
х1 = 0;
.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Уединим
выражение, содержащее знак абсолютной
величины
.
Воспользовавшись определением модуля
получим совокупность двух систем: 1)
; 2)
.
Решив полученные системы найдем корни
первоначального уравнения:
;
.
2-й способ. Возведем обе части
уравнения
в квадрат, потребовав при этом, чтобы
.
Получим систему:
.
Решая полученную систему, получим те
же корни.
Ответ:
;
.
Решение уравнений вида
Уравнение вида
может быть решено двумя методами:
-
по определению модуля оно равносильно совокупности двух уравнений:
-
возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая свойство 3, получится уравнение
,
равносильное данному.
Решение уравнений вида
Уравнение вида
может быть решено двумя методами:
-
по определению модуля оно равносильно совокупности двух систем:
1)
; 2)
-
возведением обеих частей уравнений в квадрат. Учитывая, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, получится система:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат и учитывая свойство модуля 3, получим уравнение равносильное данному:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены,
получим квадратное уравнение:
,
решив которое найдем корни первоначального
уравнения:
;
.
Ответ:
;
.
Решение уравнений вида
Уравнения вида
удобно решать методом возведения
обеих частей в квадрат, если f(x)
и g(x)
- многочлены первой степени.
Пример 4. Решить уравнение
Решение.
1. Найдем значения переменной, обращающие
выражения, стоящие под знаком абсолютной
величины в нуль:
;
;
.
2. Нанесем полученные значения на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определим знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины:
х : – –
– +
х + 1: – – + +
х + 2: – + + +
3. Пользуясь определением модуля и используя п. 2 раскроем на каждом из интервалов все знаки модулей:
при
имеем:
;
при
имеем:
;
при
имеем:
;
при
имеем:
.
4. Решим каждое из полученных уравнений:
при
:
х = –2 это значение в интервал не
входит; при
:
х = –2 полученное значение входит
в обозначенный интервал; при
:
ни при каких значениях х уравнение
решений не имеет; при
:
х = –2 в данный интервал это значение
не входит.
5. Таким образом, уравнение имеет единственный корень х = –2, так как это значение входит в один из интервалов.
Ответ: х = –2.
Алгоритм, с помощью которого было решено уравнение, можно обобщить для решения любого уравнения, содержащего несколько модулей:
-
Найти значения переменной, обращающие выражения, стоящие под знаком абсолютной величины в нуль;
-
Все найденные значения нанести на числовую прямую и на каждом из полученных интервалов определить знак каждого выражения, стоящего под знаком абсолютной величины;
-
Учитывая получившиеся знаки, воспользоваться определением модуля и раскрыть на каждом из интервалов все знаки модулей;
-
Решить каждое из полученных уравнений и из их решений выбрать те, которые принадлежат соответствующему интервалу, они и будут являться решениями первоначального уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
.
Решение. Заметим, что слагаемые в знаменателе неотрицательны, следовательно сумма равна нулю в том и только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Ни при каких значениях переменной этого произойти не может, т.е. знаменатель дроби при любом значении х отличен от нуля.
Для решения воспользуемся сформулированным алгоритмом.
1.
;
.
2.
+ – + +
– – – +
3. При
имеем:
;
При
имеем
;
;
При
имеем:
;
При
имеем:
.
4. Выбирая из полученных решений те,
которые принадлежат соответствующим
промежуткам, получим:
;
;
.
Ответ:
;
;
.