10. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов.

Законопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Законопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример: 1) = 1-1/4+1/3-1/16+…

2) Рассмотрим ряд абсолютных величин

=1+1/4+1/3+… - этот ряд сходится (обобщенный гармонический ряд)

Вывод: ряд абсолютно сходится.

Алгоритм исследования знакочередующихся числовых рядов на сходимость.

Определение 1.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Понятие области сходимости степенных рядов.

Степенные ряды – это ряды, членами которых являются функции, в частности степенные функции:-

C0+C1X+C2X2+….+CnXn+… .

Такие ряды называются степенными, а числа C0,C1,….Cn- коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│x0│.

2. Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при все значениях х таких, что │х│>│х1│

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

10. Алгоритм исследования степенных рядов на сходимость.

Стр.6 в распечатке.

10. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции .

Ряд Маклорена:

f'(0) f''(0) f'''(0) f(n)(0)

f(x)= F(0) + ── x+ ── x2+ ──x3+….+ ──xn+….

1! 2! 3! n!

х

Разложение функции y=e

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x)=…f(n)(x)=ex

f(0) = f'(0) = f''(0)=f''(0)=….f(n)(0)=eo=1

ex=1+x+x2/2! + x3/3! +…+xn/n!+…

Область сходимости ряда (-∞;+∞)

Теория вероятностей

22. Классификация событий. Пространство элементарных событий, случайное событие. Сумма и произведение событий. Противоположное событие. Несовместные события.

Наблюдаемые в жизни события можно подразделить на

• достоверные (которые обязательно произойдут в результате данного опыта)

• невозможные (никогда не произойдут в результате данного опыта)

• случайные (могут как произойти, так и не произойти в результате данного опыта)

Теория Вероятностей изучает математические модели случайных явлений и устанавливает соответственные закономерности.

Основной мерой, измеряющей степень достоверности событий является вероятность событий.

Экспериментально установлено, что при многократном применении опыта, частота (число появления) некоторых событий есть величина, которая при большом числе повторений постоянна.

Вероятность событий А

, где - число появлений событий А при повторении опыта N раз.

Каждый опыт можно описать перечислением всех его возможных исходов (элементарных), при этом все исходы считают элементарными, т.е. неделимыми!

Ex: 1) Опыт: Стрельба по мишени. Элем. исходы: промах/попадание

2) Опыт: Бросание кубика. Элем. Исходы: 1,2,3,4,5,6.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

Множество , элементами которого являются все элементарные исходы данного опыта, взаимно исключающие друг друга, называют ПРОСТРАНСТВОМ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫИЙ.

Любое подмножество пространства называется случайным событием.

Ex: Бросание кубика

- пространство эл.событий.

Событие А (1,2,3) – случайное событие.

Случайное событие А произошло, если произошло одно из эл.событий, составляющих А.

Из определения случайного события следует правило объединения и пересечения событий (сумма и произведение).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2

Событие С, составленное из тех элем.исходов, которые принадлежат событию А и В, называют суммой событий А и В. С=А+В

С произошло, если произошло или А, или В, или оба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3

Событие D, составленное из тех элем. исходов, которые принадлежат и А и В, называют произведением двух событий. D=A*B

D происходит тогда, когда происходит одновременно и А и В.

Ex: Опыт: 2 стрелка стреляют по мишени. Событие А – попал 1й. Событие В – попал 2й.

Соб. (А+В) – попал 1й, либо 2й, либо оба, т.е. мишень поражена.

Соб. (А*В) – попали оба.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4

Событие называют противоположным событию А, если

(это не дробь, это условие так напечатано ;)

Событие - невозможное событие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5