Лекция_2_системы счисления

ЛЕКЦИЯ 2

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭВМ

2.1. Системы счисления, применяемые в ЭВМ

Способ представления (записи) чисел с помощью цифровых знаков называется системой счисления. Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а₁, a₂, a₃, .... а_n. При этом каждой цифре а₁, a₂, a₃, .... а_n в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент (ее «вес»). Если коли­чественное значение цифры зависит от вида этой цифры и ее позиции в записи числа, то такая система счисления называется позиционной. Благодаря на­глядности представления чисел и сравнительной про­стоте выполнения арифметических операций в ЭВМ применяются только позиционные системы счисления.

Количество различных цифр в алфавите позицион­ной системы счисления называется основанием S этой системы. Любое число N в позиционной системе счи­сления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов а_i, взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания 5:

N_s = a_mS^m + a_m-_lS^m-^l + ... ... + _aiS^l + a_oS⁰ + a-₁S-¹+a_-2S-² + ....

Сокращенная запись числа N_s имеет вид N_s = a_ma_m-1_...a₁a_oa_-1... .

При этом позиции цифр а, в этой записи называются разрядами, причем старшие разряды, соответ­ствующие более высоким степеням основания S, рас­полагаются обычно слева, а младшие — справа. Цифры a_i в любом i-м разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a_i <S.

В ЭВМ применяются десятичная, двоичная, вось­меричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Алфавит десятичной системы счисления состоит из десяти различных цифр: 0, 1, 2, .... 9. В этой системе «вес» каждого разряда в 10 раз боль­ше «веса» предыдущего. Например, в записи 1987 цифра 1 означает число тысяч, цифра 9 — число сотен, цифра 8 — число десятков и цифра 7 — число единиц. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить суммой различных целых степеней десяти (S = 10) с соответствующими коэффициен­тами a_i (0, 1, 2, .... 9):

N₁₀=a_m10^m + a_m-l0^m-1 + ... ... + a₁10¹ + а₀10⁰ + a_-1,10^-1 + ...,

где а₀, а₁, ..., а_т — количество единиц, десятков, со­тен и т. д.; а_-1, а_-2, ... — количество десятых, сотых, тысячных и т. д. долей единицы.

Для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию при­нятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее про­стыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способ­ные находиться в одном из двух устойчивых состоя­ний, например: электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, ферромагнитная поверхность намагни­чена или размагничена, магнитный сердечник на­магничен в одном направлении или в противополож­ном, транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом, и т. д. Одно из этих устой­чивых состояний может представлять цифру 0, а дру­гое — цифру 1.

Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечила наибольшее распростране­ние в ЭВМ двоичной системы счисления, основание которой S = 2; в ней используются лишь две цифры: 0 и 1. Любое действительное число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S = 2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Напри­мер, двоичное число 11011,01₂ = 1 • 2⁴ + 1 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ +0• 2^-1 + 1 • 2^-2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25₁₀ соответствует десятич­ному числу 27,25₁₀.

Двоичное представление числа по сравнению с десятичным требует большего числа разрядов (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза). Тем не менее благодаря простоте двоичной арифметики и возможности использования двухпозиционных элемен­тов двоичная система счисления является в настоящее время основной системой, применяемой в ЭВМ для представления информации, а также для выполнения арифметических и логических операций.

Кроме двоичной в ЭВМ используются также вось­меричная и шестнадцатеричная системы счисления. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8 = 2³; 16 = 2⁴), поэтому для них исключи­тельно просты правила перевода в двоичную систему счисления, и наоборот. Восьмеричная и шестнадцате­ричная системы счисления применяются в процессе программирования для сокращенной и удобной записи двоичных кодов команд программы.

В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр - от 0 до 7, а любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффици­енты a_i =07. Например, десятичное число 215 за­писывается в восьмеричной системе счисления следую­щим образом:

215₁₀=3·8²+2·8¹ +7·8⁰= 327₈.

192 +16+7 = 215

В шестнадцатеричной системе счис­ления алфавит цифровых знаков состоит из 16 симво­лов, причем в качестве первых десяти символов ис­пользуются арабские цифры от 0 до 9, а дополнитель­но к ним применяются буквенные символы: 10—А, 11—В, 12—С, 13—D, 14—Е, 15—F. С помощью дан­ного алфавита можно записать все десятичные числа от 0 до 15 включительно, а затем 16₁₀ = 1 • 16¹ + 0• 16⁰= 10₁₆; 17₁₀= 1 • 16¹ + 1• 16⁰= 11₁₆; 18₁₀ = 1 • 16¹ + 2• 16⁰= 12₁₆ и т. д.

Число 215 в шестнадцатеричной системе счисления запишется следующим образом:

215₁₀ =D • 16¹ + 7• 16⁰= D7₁₆ (3×16 =208) + (7×1 = 7) 215

В табл. 2.1 приведены записи чисел от 0 до 20 в различных системах счисления.

Таблица 2.1 - Записи чисел от 0 до 20 в различных системах счисления

Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система	Шеснадцатеричная система		Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система	Шеснадцатеричная система
0	0	0	0		11	1011	13	B
1	1	1	1		12	1100	14	C
2	10	2	2		13	1101	15	D
3	11	3	3		14	1110	16	E
4	100	4	4		15	1111	17	F
5	101	5	5		16	10000	20	10
6	110	6	6		17	10001	21	11
7	111	7	7		18	10010	22	12
8	1000	10	8		19	10011	23	13
9	1001	11	9		20	10100	24	14
10	1010	12	А

2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существуют различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Рассмотрим наи­более доступный и не требующий сложных вычисле­ний способ перевода из десятичной системы счисления в систему с новым основанием — так называемый табличный способ. Его суть заключается в том, что исходное десятичное число представляют суммой раз­личных степеней нового основания. При этом степени подбирают из соответствующей таблицы (отсюда и название способа). Последовательность расположения степеней начинается с той, которая дает число, не превышающее исходного десятичного. Затем для чле­нов полученного ряда степеней подбирают соответст­вующие коэффициенты из алфавита новой системы счисления таким образом, чтобы их сумма была равна исходному десятичному числу.

Рассмотрим примеры использования данного спо­соба.

1. Переведем десятичное число 377 в двоичную систему счисления. Наибольшая степень нового осно­вания S = 2, не превышающая числа 377, равна 8 (так как 2⁸ = 256, а 2⁹ = 512). Таким образом, после­довательность расположения степеней начинается с 2⁸ и заканчивается 2⁰. Из этих степеней подбираем те, которые при суммировании дают результат, равный 377. Затем перед членами, которые участвовали в сум­мировании, поставим коэффициент 1, а которые не участвовали — 0. Окончательная запись двоичного числа состоит из этих коэффициентов:

377₁₀=1·2⁸ + 0·2⁷ +1·2⁶ +1·2⁵ + 1·2⁴ +1·2³ +0·2² +0·2¹ +1·2⁰ =

256 + 0 + 64+32 + 16 + 8 + 0 + 0

377

= 101111001₂.

2. Выполним перевод этого же числа 377₁₀ в вось­меричную систему счисления. Наибольшая степень восьми, не превышающая 377, равна 2; таким обра­зом, последовательность степеней будет состоять из 8², 8¹, 8⁰. Подбирая к ним коэффициенты из алфавита восьмеричной степени счисления (от 0 до 7), оконча­тельно получим

377₁₀ =5·8² + 7·8¹ + 1·8¹ = 571₈

320 + 56 + 1

377

3. Выполним перевод числа 377₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

377₁₀ = 1·16² + 7·16¹ + 9·16⁰ = 179₁₆.

256+ 112 + 9

377

4. Переведем восьмеричное число 571₈ и шестнадцатеричное число 179₁₆ в двоичную систему счисления. Для этого заменим каждую цифру этих чисел соответ­ственно 3-разрядным или 4-разрядным двоичным числом. Отбросив при этом ненужные нули, получим

( 5 7 1 ) = 101111001₂

101 111 001

( 1 7 9 ) = 101111001₂

0001 0111 1001

В обоих случаях имеем одинаковый результат 571₈ = 179₁₆ = 10111101₂, совпадающий с результа­том, полученным непосредственным переводом в дво­ичную систему счисления исходного десятичного чи­сла 377₁₀.

Табличный способ применим и при переводе пра­вильных десятичных дробей в двоичную, восьмерич­ную или шестнадцатеричную систему счисления. При этом необходимо пользоваться таблицей отрицатель­ных степеней нового основания. Проиллюстрируем примером перевода десятичной дроби 0,3125 соответ­ственно в двоичную, восьмеричную и шестнадцатерич­ную системы счисления:

0,3125₁₀ = 0·2^-1 + 1·2^-2 + 0·2^-3 + 1·2^-4 = 0,0101₂;

0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,3125

0,3125₁₀ = 2·8^-1 + 4·8^-2 = 0,24₈

0.25 + 0,0625 = 0,3125

0,3125₁₀ = 5·16^-1 = 0,5₁₆.

0,3125

5. Переводим восьмеричное число 0,24₈ и шестнадцатеричное 0,5_!6 в двоичную систему счисления:

(0, _2_ _4_ )₈ = 0,0101₂. (0, _5_)₁₆ = 0,0101₂. 010 100 0101

В обоих случаях имеем одинаковый результат 0,24₈ = 0,5₁₆ = 0,0101₂, совпадающий с результатом, полученным непосредственным переводом в двоичную систему счисления исходной десятичной дроби 0,3125₁₀.

Рассмотрим общие правила перевода из одной позиционной системы счисления в другую.

1. Перевод целого числа из системы счисления с основанием S в другую систему с основанием q осу­ществляется последовательным делением его на осно­вание q новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньшее q. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с послед­него. Указанное деление выполняется в исходной си­стеме счисления.

Проиллюстрируем это правило примерами.

Для контроля правильности преобразований ис­пользуем примеры, выполненные ранее табличным способом. Сначала переведем десятичное число 377 в двоичную систему счисления последовательным деле­нием на основание

S = 2 новой системы:

377  2 188  2 94  2 47  2 23  2 11 2 5  2 2  2 1  2

188+1 94 + 0 47 +0 23 +1 11 +1 5 +1 2+1 1+0 0+1

        

1 0 0 1 1 1 1 0 1

           

101111001₂

Аналогично выполним перевод в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

377  8 47 : 8 5:8 377  16 23  16 1  16

47 + 1 5+7 0+5 23 + 9 1 + 7 0 + 1

     

1 7 5 9 7 1

      571₈       179₁₆

Остатки от соответствующих делений дают записи в новых системах счисления, т. е. 377₁₀ = 101111001₂ = = 571₈ = 179₁₆. Эти результаты полностью совпадают с теми, которые были ранее получены табличным способом.

2. Перевод правильной дроби из одной позицион­ной системы счисления в другую осуществляется последовательным умножением ее на основание S новой системы счисления; при этом перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей получающихся произведений начиная с первого.

Проиллюстрируем это правило на примере перево­да десятичной дроби 0,6875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

0,6875 0,3750 0,7500 0,5000

× 2 × 2 × 2 × 2

1,3750 0,7500 1,5000 1,0000

   

1 0 1 1

      0,1011₂

0,6875 0,5000 0,6875

× 8 × 8 × 16

5,5000 4,0000 11,0000

  

5 4 В

   0,54₈   0,В₁₆

В шестнадцатеричной системе счисления целая часть произведения 11 запишется символом В (см. таблицу 2.1), поэтому окончательно получим 0,6875₁₀ = 0,1011₂ = 0,54₈ = 0,В₁₆.

При переводе дробей в новую позиционную систему счисления последовательное умножение на основание этой системы выполняют до получения дробной части, равной нулю (как было в рассмотренных примерах), или до получения необходимого количества разрядов после запятой.

3. Для перевода неправильных десятичных дробей (например, 15,6875) необходимо, пользуясь приведен­ными правилами, выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

4. Обратный перевод в десятичную систему счисле­ния из других позиционных систем выполним, поль­зуясь позиционной записью данного числа. Для чего представим его в виде суммы степеней своего осно­вания, подсчитаем значения десятичных эквивалентов отдельных разрядов, а затем их просуммируем.

Покажем это на примерах:

101,01₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 0·2^-1 ₊ 1·2^-2 = = 4 + 0+1+0 + 0,25 = 5,25₁₀;

46,2₈ = 4·8¹ + 6·8⁰ + 2·8^-1 = 32 + 6 + 0,25 = 38,25₁₀;

1F,A= 1·16¹ + 15·16⁰+ 10·16^-1 = 16+ 15 + 0,625=31,625₁₀.

2.3 Арифметические действия в двоичной системе счисления

Особенностью двоичной системы счисления являет­ся использование простых арифметических действий, основанных на обычных правилах арифметики.

Сложение одноразрядных двоичных чисел производится по следующим правилам: 0 + 0 = 0; 0+1 = 1; 1+0=1; 1+1=0 +1 — единица переноса в старший разряд. Пользуясь этими правилами, можно выполнить сложение многоразряд­ных двоичных чисел подобно тому, как это делается в десятичной системе счисления. Необходимо только при этом учитывать, что 1 + 1 дает нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий старший разряд.

Покажем это на примере сложения двоичных чисел 1100 (двенадцать) и 110 (шесть):

1100 (12)

+110 (6)

10 010 (18)

Проверим результат: 10010₂ = l 2⁴ + 0 2³ + 0 2² + 12¹+0 2⁰ = 16+0 + 0 + 2 + 0 = 18₁₀

Сложение трех двоичных чисел и более выполняется несколько сложнее. В этом случае нужно внимательно следить за образующимися единицами переноса в старшие разряды, так как они могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и в более удаленные.

Вычитание двоичных чисел выполняет­ся по следующим правилам:

0 — 0 = 0; 1—0=1; 1 — 1=0; 10 — 1 = 1. При вычитании многоразряд­ных двоичных чисел может возникнуть необходимость заема единицы в ближайшем старшем разряде, что дает две единицы в младшем разряде. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в ближайшем значащем старшем разряде, дает две единицы в данном младшем разряде и едини­цы во всех нулевых разрядах, стоящих между данным и тем старшим разрядом, у которого брался заем. Например,

10010 (18)

- 101 (5)

1101 (13)

Проверим результат:

1101₂= 12³ + 12² + 02¹ + 12⁰= 8+ 4 + 0+ 1 = 13₁₀

Умножение двоичных чисел выполня­ется по следующим правилам: 00 = 0; 01 = 0; 10 = 0; 11 = 1. Умножение многоразрядных двоич­ных чисел сводится к умножению множимого на каждый разряд множителя, последующему сдвигу множимого или множителя и суммированию обра­зующихся частичных произведений. При этом каждое частичное произведение равно 0, если в соответствую­щем разряде множителя стоит «0», или равно мно­жимому, сдвинутому на соответствующее число раз­рядов влево, если в разряде множителя стоит «1». Например,

1001 (9)

 110 (6)

0000

1001

1001

110110 (54)

Проверим результат: 110110₂ = 12⁵ + 12⁴ + 02³+ 12²+ 12¹ +02° = 32+16 + +0 + 4 + 2 + 0= 54₁₀.

Деление двоичных чисел сводится к выполнению вычитаний и сдвигов. Используя преды­дущий пример, выполним деление 110110(54) на 110 (9):

_ 110110 [110

110 1001

- 000110

- 110

000

Проверим результат:

1001₂ = 12³+ 02² + 02^l + 12⁰ = 8 + 0 + 0 + 1= 9₁₀. т. е. 54 : 6 = 9.