Функція повної механічної енергії

Помножимо (11.31) на і просумуємо вирази для всіх узагальнених координат, отримаємо . На основі формули виконаємо перетворення .

Функція Лагранжа залежить від узагальнених координат і узагальнених швидкостей, які є функціями часу, отже . Тоді і , звідки

. (11.32)

Перетворимо . Маємо , звідки .

Остаточно маємо , тоді

. (11.33)

У випадку стаціонарних в’язей і дії на механічну систему потенціальних сил функція Лагранжа явно від часу не залежить і , тоді має місце закон збереження повної механічної енергії

, (11.34)

де – інтеграл узагальненої енергії – інтеграл Якобі.

Канонічні рівняння

Формулювання законів механіки за допомогою функції Лагранжа має на увазі описати механічний стан системи за допомогою узагальнених координат і узагальнених швидкостей. Такий опис не єдиний. Ряд переваг представляє опис за допомогою узагальнених координат і узагальнених імпульсів.

Введемо скалярну величину – узагальнений імпульс, що відповідає узагальненій координаті .

Запишемо повний диференціал функції Лагранжа як функції узагальнених координат, узагальнених швидкостей і часу . Цей вираз можна написати у вигляді , оскільки похідні є узагальненими імпульсами, а – в силу рівнянь Лагранжа у випадку потенціальних сил . Виконаємо перетворення доданка , тоді .

Величина під знаком диференціала представляє собою повну енергію системи, виражену через узагальнені координати та узагальнені імпульси, це функція Гамільтона системи

. (11.35)

З рівності слідують рівняння

, , . (11.36)

Перші два вирази – рівняння руху в змінних узагальнених координат та узагальнених імпульсів, так звані рівняння Гамільтона. Вони складають систему диференціальних рівнянь першого порядку відносно невідомих функцій. З-за їхньої формальної простоти і симетрії ці рівняння називають також канонічними.

Рівняння в методі Гамільтона особливої ролі не відіграє. Воно вказує, що гамільтоліан механічної системи залежить або не залежить явно від часу одночасно з її лагранжіаном. З явної незалежності гамільтоліана механічної системи від часу слідує закон збереження повної механічної енергії.

Алгоритм застосування методу Гамільтона

1. встановити число ступенів вільності системи і вибрати рівну йому кількість узагальнених координат;

2. обчислити кінетичну енергію системи;

3. знайти узагальнені імпульси і розв’язати одержану систему рівнянь відносно узагальнених швидкостей;

4. обчислити потенціальну енергію системи;

5. обчислити функцію Гамільтона;

6. скласти канонічні рівняння Гамільтона і провести їх розв’язання.

Тема 12. Варіаційні принципи класичної механіки

Класифікація варіаційних принципів

Варіаційними принципами класичної механіки називають загальні закономірності механічного руху, які дозволяють із сукупності кінематично можливих рухів (тобто тих, які дозволяються накладеними на систему в’язями), виділити дійсний рух, який вона буде здійснювати в заданому силовому полі.

Варіаційні принципи поділяють на диференціальні та інтегральні. Диференціальні варіаційні принципи дають критерій істинного руху, віднесений до деякого моменту часу, а інтегральні – до скінченого інтервалу часу.

Одним із найбільш важливих та загальним варіаційним диференціальним принципом класичної механіки є принцип можливих переміщень (Ейлера – Даламбера – Лагранжа). Найбільш важливими інтегральними принципами класичної механіки є принцип найменшої дії Остроградського – Гамільтона.

Положення голономної механічної системи відносно деякої системи відліку визначається узагальненими координатами , , ..., , які при русі механічної системи є функціями часу. Сукупність узагальнених координат механічної системи для кожного моменту часу можна розглядати як координати точки в -вимірному просторі. Тоді кожній конфігурації механічної системи, тобто її положенню в просторі, буде відповідати певна точка -вимірного простору. Такий простір називають простором конфігурацій. З часом положення системи в просторі змінюється і точка, що зображає систему, описує в просторі конфігурацій траєкторією руху системи. Рух точки по цій траєкторії відображає дійсний рух системи в просторі.

Відбір дійсного руху механічної системи із усієї сукупності її можливих рухів можна здійснити на основі диференціальних та інтегральних варіаційних принципів.