- •Тема 10. Динаміка Відносного руху точки
- •Основний закон відносного руху матеріальної точки
- •Окремі випадки закону відносного руху матеріальної точки
- •Принцип д’Аламбера для матеріальної точки
- •Принцип д’Аламбера для механічної системи
- •Тема 11. Аналітична механіка
- •Можливі переміщення механічної системи
- •Узагальнені координати. Кількість ступенів вільності руху
- •Елементарна робота сили на можливому переміщенні. Ідеальна в’язь
- •Алгоритм розв’язування задачі на рівновагу механічної системи
- •Загальне рівняння динаміки
- •Алгоритм розв’язування задачі на нерівновагу механічної системи
- •Зв’язок узагальнених величин із звичайними
- •Функція повної механічної енергії
- •Канонічні рівняння
- •Тема 12. Варіаційні принципи класичної механіки
- •Принцип Остроградського – Гамільтона
Тема 10. Динаміка Відносного руху точки
Основний закон відносного руху матеріальної точки
Нехай невільна матеріальна точка рухається по деякій траєкторії під дією активної сили . Точка невільна, отже на неї діють обмеження руху (положення чи швидкості) – так звані в’язі. Щоб зробити матеріальну точку вільною, необхідно звільнитись від в’язі і замінити дію в’язі реакцією в’язі . Це основна аксіома про в’язі.
Закони Ньютона виконуються при русі точки відносно нерухомої системи координат, яку називають інерціальною системою координат. Запишемо другий закон Ньютона в цій системі координат:
, (10.1)
де – абсолютне прискорення точки, тобто прискорення точки відносно нерухомої системи координат; – активна сила; – реакція в’язі.
Вияснимо, чи зміниться основне рівняння динаміки, якщо рух даної точки розглядати відносно системи координат, яка рухається довільним чином відносно нерухомої системи координат. Рух точки відносно нерухомої системи координат є складним. Як відомо, абсолютне прискорення точки складається з відносного, переносного і коріолісового прискорень
, (10.2)
де і – відповідно відносне і переносне прискорення; – Коріолісове прискорення; – вектор переносної кутової швидкості рухомої системи координат ; – відносна лінійна швидкість точки .
Підставимо вираз (10.2) в (10.1), маємо . Останній вираз перепишемо у вигляді: . Позначимо
, (10.3)
де – переносна сила інерції; – коріолісова сила інерції. Тоді
. (10.4)
Вираз (10.4) є основним рівнянням динаміки відносного руху матеріальної точки . Порівняння виразів (10.1) і (10.4) показує, що при вивченні руху точки відносно рухомої системи координат необхідно враховувати переносну силу інерції і коріолісову силу інерції .
Якщо вираз (10.4) спроектуємо на осі рухомої системи координат, то матимемо диференціальні рівняння відносного руху точки в скалярній формі:
,
, (10.5)
.
Переносне прискорення точки у загальному випадку дорівнює
, (10.6)
де – прискорення точки – початку рухомої системи координат, останні доданки – переносні дотичне і нормальне прискорення точки , викликані обертанням системи координат навколо центра . Підставимо вираз (10.6) в . Маємо . Введемо позначення:
, , (10.7)
Тоді
, (10.8)
де – переносна сила інерції центра , – переносна дотична сила інерції, – переносна нормальна сила інерції.
Підставимо вираз (10.8) в (10.4). Тоді основний закон динаміки відносного руху матеріальної точки запишеться у вигляді
. (10.9)
Сили інерції , , , , і прискорення , , , , , що їм відповідають, напрямлені протилежно.
Окремі випадки закону відносного руху матеріальної точки
1. Початок рухомої системи координат рухається прямолінійно і рівномірно (). Тоді основний закон відносного руху точки має вигляд
. (10.10)
2. Нехай рухома система координат рухається поступально з прискоренням . Тоді кутова швидкість і кутове прискорення рухомої системи координат дорівнюють нулю, тому . Це означає, що сили інерції . Закон динаміки відносного руху точки буде мати вигляд
. (10.11)
3. Нехай рухома система координат виконує прямолінійний рівномірний рух. Тоді , а це означає, що сили інерції . Отже, основний закон динаміки відносного руху точки набуде вигляду
. (10.12)
Порівнюючи вираз (10.12) з законом Ньютона, записаним відносно нерухомої системи координат, бачимо, що другий закон Ньютона виконується і при русі точки відносно рухомої системи координат, яка рухається прямолінійно і рівномірно. Таким чином, інерціальними системами координат є не тільки нерухомі, а і ті, що рухаються рівномірно і прямолінійно. Принцип відносності класичної механіки: ніякі досліди всередині системи не можуть встановити, рухається ця система рівномірно і прямолінійно чи знаходиться в стані спокою.
4. Відносний спокій точки. Нехай рухома система координат рухається довільним чином, а точка відносно цієї системи не переміщується ().
Тоді , і , основне рівняння відносного спокою:
. (10.13)