2.1.3. Логические схемы и логические выражения

Удобным способом представления логических выражений являются логические схемы. Вот как изображаются на таких схемах три основные логические операции:

Схематическое изображение логических операций

В этой таблице использованы следующие обозначения: 1 — истина; 0 — ложь. Цифры в начале входящих стрелок — логические операнды; цифры а конце выходящих стрелок — результаты операций.

Данная таблица — та же таблица истинности, только представленная в форме логи­чес­ких схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.

Пример 5. Для вычисления логического выражения: 1 или 0 и 1 нарисовать схему, от­ра­жающую последовательность выполнения логических операций. По схеме вычислить зна­чение логического выражения.

Решение.

Здесь наглядно отражено то, что первой выполняется операция и, затем или. Теперь в порядке слева – направо припишем к выходящим стрелкам результаты операций:

В результате получилась 1, т.е. «ИСТИНА».

Пример 6. Дано выражение: не (1 и (0 или 1) и 1).

Вычислить значение выражения с помощью логической схемы.

Решение. Логическая схема с результатами вычислений выглядит так:

2.1.4. Импликация и эквивалентность

Импликация (условное высказывание). В русском языке этой логической операции соответствуют союзы если ..., то; когда ..., тогда; коль скоро..., то и т. п.

Выражение, начинающееся после союзов если, когда, коль скоро, называется основанием условного высказывания.

Выражение, стоящее после слов то, тогда, называется следствием. В логических формулах операция импликации обозначается знаком «→». Импликация — двухместная операция; записывается так: А→В.

Эквивалентность. Языковой аналог — союзы если и только если; тогда и только тогда, когда ... Эквивалентность обозначается знаком «≡» или «↔».

Пример 7.

А) Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Преобразовать к логической формуле.

Решение.

Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логическая форма сложного высказывания имеет вид А→В.

Б) Дано сложное высказывание: «Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел». Преобразовать к логической формуле.

Решение.

Обозначим через А простое высказывание «людоед голоден», а через В — «он давно не ел». Тогда логическая формула сложного высказывания имеет вид А ≡ В.

Таблица истинности операций импликации и эквивалентности

А	В	А→В	А ≡ В
0	0	1	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	1	1	1

Порядок всех пяти логических операций по убыванию старшинства следующий: отрица­ние, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Пример 8. Определить истинность формулы

F = ((C В) → В) & (А & В) → В.

Для решения задачи построим таблицу истинности этой формулы, перебрав все варианты зна­чений логических переменных А, В, С. Введем числовые обозначения для логических величин: 1 — ИСТИНА, 0 — ЛОЖЬ.

A	B	C	C\/B	(C\/B)→B	A&B	((C\/B)→B)&(A&B)	F
0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Ответ: формула является тождественно истинной.