- •Задачи для самостоятельного решения
- •2) Длину вектора .
- •2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Основы аналитической геометрии
- •Уравнения прямой на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.8. Кривые второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
25. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно:
а) оси ОХ; б) оси ОY; в) оси ОZ;
г) прямой
д) прямой .
26. Найти направляющий вектор прямой
27. Привести к каноническому виду прямую
-
Найти направляющие косинусы прямой .
-
Найти параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку и параллельной вектору ; б) проходящей через точки и .
30. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
а)
б) .
31. Найти расстояние от точки до прямой:
а) ;
б) ;
в)
32. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми
3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть у прямых и известны направляющие векторы и соответственно.
Под углом между двумя прямыми в пространстве понимается любой из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства .
Угол находится исходя из формулы
. (3.32)
Условие параллельности прямых:
. (3.33)
Условие перпендикулярности прямых:
. (3.34)
Примеры
11. Найти величину угла между прямыми
и
Р е ш е н и е. Направляющий вектор первой прямой . Находим направляющий вектор , т. е. .
, .
12. Установить взаимное расположение прямых:
а) и ;
б) и .
Р е ш е н и е. а) Выпишем направляющие векторы прямых:
, . Так как координаты этих векторов пропорциональны , то данные прямые параллельны или совпадают. Возьмем на первой прямой какую-нибудь точку, например точку . Подставим ее координаты в уравнение второй прямой:
Получаем из первого уравнения, из второго, из третьего. Так как полученные значения различны, то это означает, что точка не принадлежит второй прямой. Прямые не совпадают, значит, они параллельны;
б) координаты направляющих векторов и данных прямых не пропорциональны. Следовательно, прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися. Выпишем координаты точек, через которые проходят данные прямые: и . Проверим условие принадлежности двух прямых одной плоскости:
=0, .
Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.
Задачи для самостоятельного решения
33. Найти величину острого угла между прямыми
а) и ;
б) и
34. Выяснить взаимное расположение прямых:
а) и
б) и .
35. Даны прямые , . При каком значении параметра m прямые: а) перпендикулярны; б) параллельны?
3.7. Прямая и плоскость в пространстве
Величина угла между прямой (L) и плоскостью определяется по формуле
. (3.35)
Условие параллельности прямой и плоскости:
. (3.36)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
. (3.37)
Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из решения системы уравнений:
(3.38)
Примеры
13. Найти величину угла между прямой и плоскостью
Р е ш е н и е. Применим формулу (3.35):
.
14. Установить взаимное расположение прямой и плоскости:
а) и ;
б) и .
Р е ш е н и е. а) Имеем , . Прямая не перпендикулярна плоскости, так как координаты векторов и не пропорциональны:
.
Условие параллельности прямой и плоскости (3.36) также не выполняется:
.
Следовательно, прямая пересекает плоскость. Параметрические уравнения прямой подставим в уравнение плоскости и найдем точку пересечения:
.
б) Имеем , .
Условие (3.36) параллельности прямой и плоскости выполняется:
.
Следовательно, данная прямая параллельна плоскости или принадлежит ей.
Возьмем любую точку прямой, например . Подставим ее координаты в уравнение плоскости:
.
Следовательно, прямая принадлежит плоскости.