- •Задачи для самостоятельного решения
- •2) Длину вектора .
- •2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Основы аналитической геометрии
- •Уравнения прямой на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.8. Кривые второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
3.3. Уравнения плоскости в пространстве
Будем предполагать, что в пространстве задана прямоугольная система координат .
Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.
Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором :
. (3.18)
Общее уравнение плоскости:
. (3.19)
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) – плоскость проходит через начало координат;
2) – плоскость параллельна оси , – параллельна оси ОУ, ОХ соответственно);
3) – плоскость проходит через ось , – через ось и ОХ соответственно);
4) – плоскость параллельна плоскости , – параллельна плоскости и соответственно);
5) , т. е. – плоскость совпадает с плоскостью ( – уравнения плоскостей и соответственно).
Уравнение плоскости в отрезках:
, (3.20)
где – величины направленных отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат соответственно .
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , :
= 0. (3.21)
Расстояние от точки до плоскости :
. (3.22)
Примеры
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .
Р е ш е н и е. Пусть – текущая точка плоскости. Тогда векторы , – компланарны. Из условия компланарности трех векторов следует, что их смешанное произведение равно нулю: или .
Вычислив определитель в левой части, получим общее уравнение плоскости .
5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и .
Р е ш е н и е. Возьмем на оси вектор .
Пусть – текущая точка плоскости. Тогда векторы , , компланарны и . Отсюда следует
или
– общее уравнение плоскости.
Задачи для самостоятельного решения
15. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит:
а) через точку перпендикулярно к вектору ;
б) через точку и ось: 1) ОХ; 2) ОY; 3) OZ;
в) через точку параллельно плоскости:
1) 2) 3)
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки:
а) , , ;
б) , , .
17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
18. Какие отрезки отсекает плоскость на осях координат?
19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и отсекающей на осях координат:
а) равные отрезки положительной величины; б) на оси отрезок, вдвое больший, чем на осях ОХ и ОУ, положительной величины.
20. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно плоскости .
21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно плоскости .
3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть у плоскостей и известны нормальные векторы и соответственно.
Под углом между двумя плоскостями понимается любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол между плоскостями и находится исходя из формулы
. (3.23)
Условие параллельности плоскостей:
(3.24)
Условие перпендикулярности плоскостей:
. (3.25)
Примеры
-
Найти величину острого угла между плоскостями:
а) и ;
б) и .
Р е ш е н и е. а) Для нахождения острого угла формула (3.23) примет вид: ,
, .
б) Можно заметить, что выполняется условие (3.25) перпендикулярности плоскостей, т. к. Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны: .
7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости и удаленной от точки на расстояние .
Р е ш е н и е. Уравнение искомой плоскости ищем в виде Найдем значение D. Так как точка М удалена от искомой плоскости на расстояние , то по формуле (3.22) записываем
или , т. е. , откуда
и . Условию задачи удовлетворяют две плоскости:
и .