4.1.4 Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу

Головними називають осі, відносно яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю. Найбільший практичний інтерес мають головні центральні осі, на відміну від інших позначимо їх через u i v (рисунок 4.6). В розрахункових формулах їх часто позначають також через y i z. Для визначення положення головних центральних осей u та v використаємо формулу (4.14) переходу до повернутих осей (у даному випадку до головних осей uv), підпорядкувавши її умові I_uv = 0. Тоді для знаходження кута _ (рисунок 4.6), що визначає положення головних осей відносно будь-яких допоміжних центральних осей zy, отримаємо

. (4.16)

Формула дає два значення кута _, що відрізняються на і визначають положення двох взаємно перпендикулярних головних осей інерції.

Моменти інерції відносно головних осей називаються головними моментами інерції. Головні моменти інерції мають екстремальні значення, тобто один має найбільше, а другий найменше значення із всіх отриманих при повороті осей координат. Сума осьових моментів інерції при повороті осей координат величина стала

. (4.17)

Головні моменти інерції позначимо I_u , I_v або I_max , I_min . Їх можна підрахувати за формулами (4.13) з врахуванням того, що _, або

(4.18)

Із залежності (4.17) випливає, що при повороті допоміжних осей zy до збігу з головними осями uv більший з моментів інерції відносно допоміжних осей повинен збільшитися і досягти величини I_max , тоді як менший повинен зменшитися на ту саму величину й досягти I_min . Отже віссю максимального моменту завжди буде вісь, суміжна з тією допоміжною віссю (z або y), відносно якої момент інерції більший. Якщо, наприклад, I_z  I_y , то вісь u, що з віссю z становить гострий кут (рисунок 4.5), буде віссю I_max . У випадку, коли J_zс J_усJ_u = J_min, J_v = J_max та навпаки J_u = J_max, J_v =J_min, коли J_zс J_ус.

Потрібно відмітити, що отримані за формулою (4.16) значення _ потрібно відкладати проти стрілки годинника, якщо вони додатні, і за стрілкою годинника, якщо вони від’ємні.

Якщо відомі значення головних моментів інерції I_max , I_min та осьових

, то відцентровий момент інерції відносно осей х_с та у_с можна визначити за одною з нижченаведених формул:

; (4.19)

; (4.20)

; (4.21)

. (4.22)

Знак в формулах (4.19) – (4.22) вибирається в залежності від положення перерізу (наприклад, для нерівнобокого кутика він показаний на рис. 4.7. Для схем а, г –  0; б, в –  0.