1.2.1 Центральное проецирование

П усть имеем в пространстве плоскость ′, которую будем называть плос­костью проекций (рисунок 1.2.1). Выберем некоторую точку S, не лежащую на плоско­сти проекций. Эту точку будем называть центром проецирования.

Рисунок 1.2.1 – Центральное проецирование

Для проецирования точки А пространства на плоскость ' надо провести через эту точку и центр проекций S прямую. Такая прямая называется проеци­рующей прямой. Находим затем точку пересечения проецирующей прямой SA с плоскостью проекций ′. Полученную точку пересечения А′ будем называть центральной проекцией данной точки А на плоскость П'.

В том случае, если точка А совпадает с центром проекций S, становится неопределённой не только проецирующая прямая, но и проекция точки на плоскость П′.

Таким образом, центр проекций S является исключительной точкой, не имеющей проекций.

Центральной проекцией прямой линии является прямая линия. Пусть тре­буется спроецировать центрально данную прямую АВ в соответствии с рисунком 1.2.1. Проецирующие прямые SA и SB определяют на плоскости П′ проекции А′ и В′ соответственно точек А и В. Для любой другой точки Е прямой АВ проецирующая прямая SЕ опре­деляет проекцию Е′. Все проецирующие прямые лежат в одной и той же (проецирующей) плоскости SAB. Поэтому все проекции точек данной прямой лежат на линии пересечения проецирующей плоскости SAB с плоскостью про­екций П′_.

Если данная прямая проходит через центр проекций S, т.е. сама является проецирующей линией, то она проецируется на плоскость П′ в виде точки. Так, все точки прямой SA (рисунок 1.2.1) проецируются на плоскость П′ в одну и ту же точку А′. Например, точка С прямой SA даёт проекцию С′, совпадающую с А′.

Для построения проекций прямой линии достаточно построить проекции двух её точек. Это показывает, что для построения проекций фигуры не всегда необходимо проецировать все её точки. Например, для определения проекции треугольника достаточно построить проекции трёх его вершин.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования от­личается большой наглядностью. Объясняется это устройством зрительного ап­парата человека, который с некоторым приближением можно считать работаю­щим по принципу центрального проецирования.

1.2.2 Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

Задаём некоторую плоскость П′, являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s, не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 1.2.2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′, параллельную направлению проецирования s. Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ является параллельной проекцией точки А на плоскость П′.

Рисунок 1.2.2 – Параллельное проецирование

На рисунке 1.2.2 изображена операция параллельного проецирования отрезка АС. Проецирующие линии всех точек этого отрезка лежат в одной (проецирующей) плоскости. Поэтому проекцией отрезка АС является отрезок А'С' прямой линии. Это свойство общее для центральной и параллельной про­екций.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проецирования, которых не имеет центральная проекция.

1) Прямые, параллельные в пространстве (в общем случае) проецируются в виде прямых, параллельных на плоскости проекций П′.

Пусть имеем прямые АВ и CD, параллельные в пространстве (рисунок

1.2.3).

Рисунок 1.2.3 – Параллельная проекция параллельных в пространстве

прямых

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AАВB и CСDD, заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD; BВ ||DD ). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П' по двум парал­лельным между собой прямым.

2) Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции.

Пусть АВ и CD – отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П при направлении проецирования s (рисунок 1.2.3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки АВ1 и СD1, соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СD. Треугольники АBB1 и СDD1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

В частном случае данные отрезки АВ и CD могут оказаться лежащими на одной прямой, однако это не изменит рассуждения.

Если при этом концы двух отрезков совпадают, т.е. имеем отрезки АВ и ВС в соответствии с рисунком 1.2.4, то вышеприведённое соотношение примет вид

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А'С′.

Рисунок 1.2.4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании

3) Отношение проекции отрезка А'В' к натуральному отрезку постоянно для всех параллельных между собой отрезков.

П олученная выше пропорция после перестановки крайних членов имеет вид

П остоянное отношение u называется показателем искажения для отрезков данного направления