1.3.4.6 Конические сечения

Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями.

К этим линиям относятся следующие: эллипс, парабола, гипербола, окружность, две прямые.

Рассмотрим, при каких условиях получается то или иное сечение на примере пересечения конуса второго порядка проецирующей плоскостью (рисунок 1.3.50).

Рисунок 1.3.50 – Конические сечения

Если секущая плоскость ¹(¹₂) пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс.

Если секущая плоскость (₂) перпендикулярна к оси вращения конуса, то в сечении получается окружность.

Если секущая плоскость ²(²₂) параллельна одной образующей конуса, то в сечении будет парабола.

Если секущая плоскость ³(³₂) параллельна двум образующим конуса, то получим гиперболу.

Гипербола может быть получена и в случае расположения секущей плоскости ⁴(⁴₂) параллельно оси конуса. В этом случае плоскость параллельна двум образующим, проекции которых совпадают с проекцией оси.

Две прямые в сечении получаются, если секущая плоскость ⁵(⁵₂) проходит через вершину конуса.

Пример построения сечения конуса по параболе показан на рисунке 2.3.51. При построении сначала определялись опорные (экстремальные) точки 1, 2, и 2. Затем определялись промежуточные точки с помощью горизонтальных плоскостей-посредников Г(Г₂). Их построение можно видеть на примере точек 3 и 3.

Рисунок 1.3.51 – Сечение конуса по параболе

1.3.4.7 Пересечение поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей, как и построение точки пересечения линии с поверхностью, означает определение их общих элементов. Такие задачи относят к позиционным. При их решении не учитываются метрические свойства объектов, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения.

Линию пересечения двух поверхностей находят с помощью приёма, который называется способом вспомогательных секущих поверхностей-посредников.

1.3.4.7.1 Общий алгоритм решения задачи

Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 1.3.52).

Чтобы построить такие точки, надо данные поверхности пересечь одновременно некоторой вспомогательной поверхностью Г. Следующим действием является построение линий пересечения поверхности-посредника Г с каждой из данных поверхностей:

l = Г ∩ Ф,

m = Г ∩Q .

Рисунок 1.3.52 – Пересечение двух поверхностей

Затем отмечаем точки пересечения полученных линий как лежащих на поверхности-посреднике:

А = l ∩ m,

B = l ∩ m и т.д.

Эти точки принадлежат и поверхности Г, и данным поверхностям Ф, Q, и поэтому они принадлежат искомой линии пересечения поверхностей Ф и Q.

Повторяя приём, можно найти такое количество точек кривой, которое позволяет достаточно точно провести через эти точки искомую кривую по лекалу.

Введение поверхности-посредника позволяет свести задачу о пересечении двух кривых поверхностей к более простой задаче пересечения двух линий, лежащих на одной вспомогательной поверхности.

Вид и расположение этой вспомогательной поверхности относительно данных поверхностей должны быть выбраны так, чтобы в пересечении получились простые по форме линии (прямая, окружность) и чтобы проекции этих линий легко строились на комплексном чертеже.

В качестве вспомогательных поверхностей чаще всего используют либо плоскости, либо сферы.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с определения её опорных точек. К ним относятся:

1) экстремальные – наивысшая и наинизшая, крайняя левая и крайняя правая, самая ближняя и самая дальняя;

2) точки видимости, разделяющие видимую часть кривой от невидимой, и имеющие свои проекции на линиях очертания поверхностей.

Опорные точки почти всегда позволяют видеть, в каких пределах нужно изменять положение вспомогательных секущих поверхностей для нахождения остальных, так называемых произвольных или промежуточных, точек.