- •Глава 2. Прямые и плоскости
- •§ 1 Уравнения множества точек
- •§2 Основные виды уравнений плоскости Общее уравнение плоскости
- •Параметрические уравнения плоскости.
- •§ 3. Основные виды уравнений прямой в пространстве
- •§ 4. Основные виды уравнений прямой на плоскости Параметрические и каноническое уравнения
- •Общее уравнение прямой на плоскости
- •§ 5. Взаимное расположение плоскостей. Взаимное расположение прямых на плоскоси
- •§6. Пучок плоскостей. Пучок прямых на плоскости
- •§7 Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Параметрические уравнения плоскости.
Пусть в пространстве заданы два неколлинеарных вектора и и точка . Тогда в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через параллельно векторам и . Составим её уравнение (рис. 2.2).
O
Рис. 2.2.
– компланарны} – компланарны}.
По критерию компланарности
, (5')
или
. (5)
Уравнения (5') и (5) называются векторными параметрическими уравнениями плоскости.
Пусть теперь векторы и заданы своими координатами: , . Как обычно, обозначим , . Переписав уравнение (5) в координатах, получаем параметрические уравнения плоскости:
.
Заметим, что в параметрических уравнениях плоскости коэффициенты при параметрах и – координаты векторов, параллельных этой плоскости, а свободные члены – координаты некоторой ее точки.
Вспомним ещё один критерий компланарности: три вектора компланарны в том и только в том случае, когда их смешанное произведение равно нулю. Так как смешанное произведение в координатах вычисляется через определитель третьего порядка, получаем ещё одно уравнение плоскости:
. (6)
После преобразований из (6) получается общее уравнение плоскости.
Вывод: чтобы составить уравнение плоскости надо знать какую-нибудь её точку и либо нормальный вектор плоскости, либо два неколлинеарных вектора, которые этой плоскости параллельны.
§ 3. Основные виды уравнений прямой в пространстве
Направляющим вектором прямой называют любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.
Если в пространстве заданы точка и вектор , то в пространстве существует единственная прямая , проходящая через точку параллельно вектору . Составим ее уравнение. Имеем (рис.2.3): .
Рис.2.3 Так как, на основании одного из критериев коллинеарности получаем:
. (1')
Раскрыв скобки в (1') и обозначив , получим уравнение:
. (1)
Уравнения (1) и (1') называются векторными уравнениями прямой в пространстве. Ещё один критерий коллинеарности (Т- 1 § 1 главы 1) приводит нас к следующим уравнениям:
, (2')
(2)
Уравнения (2) и (2') называются векторными параметрическими уравнениями прямой.
Предположим, что в заданной системе координат , , . Записав уравнение (2) в координатах, получаем параметрические уравнения прямой в пространстве:
.
В параметрических уравнениях прямой коэффициенты при – координаты направляющего вектора прямой, а свободные члены – координаты некоторой её точки.
Критерием коллинеарности векторов также является пропорциональность их координат. Этот критерий дает нам следующие уравнения:
,
которые называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. Кроме того, прямую в пространстве можно задать в виде пересечения непараллельных плоскостей, т.е. в виде системы уравнений:
–
векторная форма записи, или
,
где коэффициенты при неизвестных непропорциональны, – координатная форма записи.
Вывод: для того чтобы составить уравнения прямой в пространстве следует знать ее направляющий вектор и какую-либо точку. Кроме того, прямую в пространстве можно задать пересечением двух непараллельных плоскостей.