Глава 4. Поверхности второго порядка

В этой главе мы считаем, что в пространстве выбрана прямоугольная декартова система координат.

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, удовлетворяющих какому-либо уравнению 2-ой степени.

Теорема. Для любой поверхности второго порядка в пространстве существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.

Эта теорема у нас остается пока без доказательства, но она позволяет классифицировать все поверхности второго порядка.

Классификация поверхностей 2-го порядка

– эллипсоид;

– мнимый эллипсоид;

– точка ;

– однополостный гиперболоид;

– двуполостный гиперболоид;

– конус 2-го порядка;

– эллиптический параболоид;

– эллиптический цилиндр;

– мнимый эллиптический цилиндр;

– ось Oz;

– гиперболический параболоид;

– гиперболический цилиндр;

или – пара пересекающихся плоскостей;

– параболический цилиндр;

или – пара параллельных плоскостей;

– сдвоенная плоскость;

– пара мнимых параллельных плоскостей

§1. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры

Пусть в пространстве заданы кривая и прямая a, пересекающая L. Поверхность, образованная при перемещении прямой а параллельно самой себе так, что, она все время пересекает кривую L, называется цилиндрической. Прямые, которые получаются при перемещении прямой а, называются образующими этой цилиндрической поверхности, а кривая L – ее направляющей.

Т еорема. Уравнение

(1)

в пространстве задает цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси , а уравнение направляющей, лежащей в плоскости , совпадает с уравнением (1).

► Обозначим L – множество точек плоскости, удовлетворяющих (1), а S – множество точек пространства, удовлетворяющих этому же уравнению. Тогда: .

Итак, если , то поверхности S принадлежит вся прямая, проходящая через точку параллельно оси (рис. 4.1), что и доказывает, что S – цилиндрическая поверхность. ◄

Т аким образом, уравнения , , задают цилиндрические поверхности, или цилиндры, с образующими, параллельными оси _{, а названия «гиперболический», «эллиптический», «параболический» они получили по названию своей направляющей. Гиперболический, эллиптический и параболический цилиндры изображены соответственно на рисунках 4.2, 4.3 и 4.4.}

§2. Конус второго порядка

Конусом второго порядка мы назвали поверхность, которая задаётся каноническим уравнением

. (1)

Из этого уравнения видно, что конус проходит через начало координат; симметричен относительно всех координатных осей, координатных плоскостей и относительно начала координат.

Теорема. Если точка , не совпадающая с началом координат, принадлежит конусу (1), то и вся прямая , проходящая через эту точку и начало координат, принадлежит этому конусу.

►В качестве направляющего вектора прямой возьмём вектор , тогда её уравнение будет выглядеть так:

.

Таким образом,

.

Итак, конус второго порядка (1) состоит из прямых, проходящих через начало координат.◄

Дальнейшее исследование всех поверхностей будем проводить методом параллельных сечений, который состоит в следующем: пересекаем поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и по виду линий, получающихся в сечениях, делаем вывод о форме поверхности.

Пусть задана поверхность уравнением . Пересечем эту поверхность плоскостью . Линия пересечения задаются системой:

,

которая равносильна следующей:

. (2)

Т

x

Рис. 4.5.

ак как в системе (2) первое уравнение – уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси , то мы просто линию пересечения заданной поверхности плоскостью заменили линией пересечения той же плоскостью цилиндрической поверхности. Если эту ц

илиндрическую поверхность пересечь плоскостями, параллельными плоскости , то в сечениях будут получаться линии, одинаковые по форме (конгруэнтные). В частности, такую же форму, как и все линии пересечения, будет иметь кривая, лежащая в плоскости , которая является их п

роекцией на плоскость (рис. 4.5). Уравнение же последней кривой, т.е. направляющей цилиндрической поверхности, совпадает с уравнением . Так

им образом, чтобы получить уравнение проекции на плоскость линии пересечения некоторой поверхности плоскостью следует из системы, задающей эту линию пересечения, исключить (это же справедливо и для проекции линии пересечения двух произвольных поверхностей).

Возвращаясь к исследованию формы конуса (1), пересечем его плоскостью . В сечении получаем кривую, заданную уравнением:

. (3)

При уравнение (3) задаёт точку – начало координат, т.е. плоскость пересекает конус в одной только точке – в его вершине. Если , то, разделив (3) на правую часть, получаем уравнение

,

которое задаёт эллипс с полуосями

. (4)

Е сли растет, то полуоси увеличиваются, т.е. конус состоит из расширяющихся эллипсов. Внешний вид конуса изображен на рис. 4.6. При конус (1) называется конусом вращения или прямым круговым конусом.

При пересечении конуса плоскостью в сечении можно получить не только эллипс, но также гиперболу и даже параболу (подумайте, как должны быть расположены такие плоскости), поэтому эти кривые называются коническими сечениями.