- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •1. Поняття рівномірної неперервності функції.
- •2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
- •3. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що проводять до поняття похідної
- •Після спрощення одержуємо
- •2. Означення похідної
- •3. Механічний та геометричний зміст похідної
- •4. Односторонні похідні
- •5. Нескінченні похідні
- •1. Диференційовність функції
- •2. Похідні елементарних функцій
- •3. Похідна оберненої функції.
- •1. Диференціал функції
- •2. Похідні й диференціали вищих порядків
- •3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
- •4. Диференціали вищих порядків.
- •Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
- •1. Теореми про середнє значення
- •2. Теорема Ферма
- •3. Теорема Ролля
- •4. Теорема Лагранжа
- •5. Теорема Коші
- •1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
- •1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен
- •6.2. Формула Тейлора для довільної функції
- •Звідси одержуємо:
- •1. Ознака монотонності функції
- •3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
- •Достатні умови існування екстремуму функції.
- •1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
- •2. Асимптоти графіка функції
- •3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків
- •Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
- •1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •5. Безпосереднє інтегрування
- •4. Метод підстановки
- •6. Інтегрування частинами
- •1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
- •2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •1. Інтегрування ірраціональних функцій
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій
- •Приклади
6.2. Формула Тейлора для довільної функції
Теорема Тейлора. Нехай функція в точці і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками і , така, що
(3)
Доведення. Позначимо
Покладемо
Покажемо, що існує точка така, що
.
Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію
.
Функція на відрізку задовольняє всім умовам теореми Ролля:
-
неперервна на ,
-
диференційована на ,
( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію )
-
на кінцях відрізка функція має рівні значення. Дійсно
Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що . Знайдемо .
Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то
.
Далі маємо:
.
Звідси одержуємо:
.
Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз залишковим членом у формі Лагранжа.
Оскільки , то , де . Тоді
, де .
Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді
При маємо формулу Лагранжа
Якщо функція в околі точки обмежена, то залишковий член є нескінченно малою вищого порядку порівняно з при . Дійсно
.
Отже, залишковий член можна подати у формі
при ,
яка називається формою Пеано.
Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена
.
У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд
де ,
а в формі Пеано
.
Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .
Розв'язування.
-
. Оскільки , то . Отже,
.
-
. Так як , то
Звідси маємо
-
. ;
;
ЛЕКЦІЯ 21
-
Ознака монотонності функції.
-
Екстремальні точки.
-
Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.
4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.
1. Ознака монотонності функції
Теорема . Якщо функція диференційована на інтервалі і на , то функція зростає (спадає).
Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалі дві довільні точки такі, що . На відрізку функція задовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точка така, що
.
Звідси випливає, що за умов і маємо: , тобто .
Для випадку доведення аналогічне.
2. Екстремальні точки
Точка називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції , якщо існує - окіл точки такий, що для будь-якої відмінної від точки . При цьому саме значення називається локальним максимумом (мінімумом) функції .
Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму або екстремальними точками функції .
3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
Необхідна умова існування локального екстремуму функції. Якщо в точці функція має екстремум, то існує окіл точки , в якому значення є найбільшим або найменшим. Отже, якщо в точці функція диференційована, то згідно теореми Ферма .
Зазначимо, що коли функція диференційована в точці і , то або , тобто функція зростає, або і функція спадає. Звідси випливає, що функція може мати екстремум лише в тих точках, у яких її похідна рівна нулю, або не існує.
Точки, в яких похідна функції рівна нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки й точки, в яких функція визначена, але її похідна не існує називаються критичними.
Отже, для того, щоб функція мала в точці екстремуму, необхідно, щоб ця точка була критичною.