2. Повні метричні простори.

Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо вона задовольняє критерій Коші, тобто якщо таке, що

.

Якщо в просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.

Простір дійсних чисел є повним.

Щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність укладених одна в одну замкнутих куль, радіуси котрих прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Теорема Бера. Повний метричний простір не можна подати у вигляді об'єднання зліченного числа ніде не щільних множин.

Із теореми Бера зокрема випливає, що всякий повний метричний простір без ізольованих точок незліченний.

3. Доповнення простору.

Якщо простір не повний, то його завжди можна включити єдиним способом у повний простір.

Простір називається доповненням метричного простору , якщо:

1. є підпростором простору ;

2. скрізь щільний у , тобто .

Простір усіх дійсних чисел є доповненням простору раціональних чисел.

Тема 3. Границя функції однієї змінної

ЛЕКЦІЯ 10

20. Границя функції. Означення границі функції в точці за Гейне й за Коші.

21. Односторонні границі.

22. Границя функції на нескінченності.

23. Теореми про границі функцій.

1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.

Нехай функція визначена на множині і точка є граничною точкою множини . Виберемо із послідовність точок, відмінних від : збіжну до . Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність .

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функції у точці ( або при ), якщо для будь-якої збіжної до послідовності значень аргументу , відмінних від , відповідна послідовність значень функції збігається до числа .

Символічно це записують так: .

Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки . Число називається границею функції у точці , якщо для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову .

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числа існує число таке, що нерівність виконується для всіх , що задовольняють умову , тобто що згідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільного існує точка , для якої з умови випливає нерівність . Розглянемо послідовність , де . Виберемо точки такі, що

(1)

і

. (2)

Оскільки , то , але за нерівністю (2) , що суперечить умові, тобто що згідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, що і згідно з Гейне.

Отже, нехай для будь-якого існує число таке, що із нерівності випливає нерівність . Виберемо довільну послідовність точок збіжну до . Тоді для значення , відповідного , знайдеться такий номер , що для всіх виконуватимуться нерівності і разом із тим . Оскільки вибір був довільним, то це означає, що для довільної послідовності із умови випливає умова , тобто що за Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.