3.2. Замкнутая модель Леонтьева

В замкнутой модели Леонтьева затраты внутри экономической системы равны валовой продукции системы: все, что производится в системе, в ней же и потребляется на производственные нужды и каждый продукт производится, т.е.

(3.11)

Вектор , удовлетворяющий условию (3.11) называется равновесным вектором системы, имеющей матрицу прямых затрат А. равенство (3.11) показывает, что вся валовая продукция каждой отрасли потребляется всеми отраслями системы полностью.

Линейная балансовая модель называется открытой, если не вся продукция системы затрачивается внутри системы, часть продукции идет на внешнее потребление.

Матрица прямых материальных затрат и ее продуктивность

Матрица А прямых материальных затрат в балансовых моделях является основой информационного обеспечения, отражает продуктивность экономической системы.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1) существование неотрицательного вектора X≥0 и вектора конечной продукции Y>0, удовлетворяющих модели межотраслевого баланса;

2) для матрицы существование неотрицательной обратной матрицы, т.е. ;

3) наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы положительны.

5) матричный ряд сходится, причем его сумма равна обратной матрице .

Основное балансовое равенство (3.3) позволяет решить важные задачи:

• задавая валовую продукцию отраслей системы, можно вычислить конечную продукцию отраслей. Для этого преобразуют равенство (3.3):

,

(3.12)

• имея информацию о конечной продукции отраслей, можно вычислять их валовую продукцию, для этого необходимо (3.12) умножить на обратную матрицу слева

,

Отсюда

(3.13)

• для ряда отраслей, задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции остальных. В последнем случае удобнее пользоваться системой уравнений (3.6).

В формулах используется единичная матрица Е, по главной диагонали которой стоят 1, остальные элементы 0.

Матрица полных производственных затрат

О. Матрица (E-A)^-1=B называется матрицей коэффициентов полных материальных затрат, каждый коэффициент (элемент) которой b_ij показывает, какое количество продукции i – той отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат получить единицу конечной продукции j – той отрасли.

В матричной алгебре известно, что обратная матрица существует для невырожденных матриц, т.е. матрица E-A должна быть обратима, а с экономической точки зрения, неотрицательно обратима. Для вычисления матрицы полных материальных затрат можно использовать точную, известную в математике, формулу:

, (3.14)

где - определитель матрицы ,

A_ij - алгебраические дополнения элементов матрицы ,

, где - определитель (минор), получаемый при вычеркивании i – той строки и j – того столбца.

Приближенное значение коэффициентов матрицы полных материальных затрат можно получить как сумму элементов матричного ряда

(3.15)

где A - матрица коэффициентов прямых материальных затрат должна обладать свойством продуктивности.

A² - косвенные затраты первого порядка,

A³ - косвенные затраты второго порядка и т.д..

Рассмотрим в качестве примера формирование затрат топлива на получение хлеба, при этом ограничимся технологической цепочкой «посев – уборка зерна – мука – хлеб». Затраты топлива на получение хлеба из муки будут называться прямыми затратами топлива, затраты топлива при получении муки из зерна будут называться косвенными затратами I – ого порядка при получении хлеба, а затраты топлива на получение зерна от посева будут называться косвенными затратами II – ого порядка при получении хлеба. Таким образом, коэффициент матрицы полных материальных затрат есть сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-той отрасли для производства единицы продукции j-той отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.