Розділ 2. Оптичний сигнал
2.1 Просторова і часова когерентність світлових хвиль.
Поняття “когерентність” відповідає поняттю “співпадання”,
”кореляція”. В оптиці під когерентністю розуміють кореляцію яких-небудь параметрів світлової хвилі у різних точках простору або у різні моменти часу.
Розмістимо перед джерелом світла ДС екран з малими щілинами В1 і В2 і розглянемо взаємну кореляцію (когерентність) світлових хвиль, що виходять із В1 і В2 і проходять у точку С(рис.2.1а).
Екран
Рис. 2.1. Когерентні світлові хвилі
Позначивши світлові коливання у В1 як Е1(t) , у точці В2 як Е2(t) і у точці С як Е(t), а проміжки часу через τ1 і τ2, за які хвиля проходить відповідно відрізки В1С і В2С, запишемо Е(t)= Е1(t- τ1)+ Е2(t- τ2).
Інтенсивність поля, J (усереднений за час tс світловий потік крізь одиничну площадку), що зареєстрована у точці С, дорівнює
J=‹ Е(t) Ė (t) ›=‹[ Е1(t- τ1)+ Е2(t- τ2)]› × ‹ [Ė 1(t- τ1)+ Ė 2(t- τ2)] ›.
Після обчислення добутку отримаємо:
J=J1+J2+
‹
Е1(t-
τ1)
Ė
2(t-
τ1)+
Е2(t-
τ2)
Ė
1(t-
τ2)›.
Кутові дужки позначають усереднену інтенсивність за час спостереження tс, який забагато більший за період світлової хвилі Т0:
‹ Е Ė
›=
;
tс››Т0
.
Причому
J1=‹ Е1(t- τ1) Ė 2(t- τ1)›; J2=‹ Е2(t- τ2) Ė 1(t- τ2)›.
Нехай τ = τ2-τ1 і , змістивши початок відліку часу, отримаємо, що J=J1+J2+ 2Re[‹ Е1(t+τ) Ė 2(t)›],
де
‹Е1(t- τ1) Ė 2(t- τ1)+Е2(t- τ2) Ė1(t- τ2)›= ‹ Е1(t+τ) Ė 2(t)+Е2(t) Ė 1 (t+τ)›=
=2Re[‹ Е1(t+τ) Ė 2(t)›].
Ефект кореляції (когерентності) світлових хвиль описаний останнім додатком отриманого виразу 2Re[‹ Е1(t+τ) Ė 2(t)›].
Нехай
Г12=‹Е1(t+τ)·Ė2(t)›.
Дану
функцію називають комплексною функцією
взаємної когерентності світлових хвиль,
що розглядаються. Зазвичай використовують
нормовану функцію взаємної когерентності:
γ12(τ)=
Г12/
,
(2.1)
модуль якої знаходиться в межах: 0‹| γ12(τ) |‹1. Якщо |γ12(τ)|=1, то спостерігається абсолютна когерентність, якщо γ12(τ)=0 – абсолютна некогерентність світлових хвиль, якщо 0,88 ‹|γ12(τ) | ‹1 –когерентність; у випадку 0‹|γ12(τ) | ‹0,88 – часткова когерентність.
Сполучимо щілини одна з одною, але при цьому забезпечимо наявність двох різних шляхів від точки В до С (рис.1,б). Тоді замість γ12(τ) буде γ11(τ)= ‹ Е1(t+τ) Ė 1 (t)›/J.1. Функція γ11(τ) описує кореляцію між світловими коливаннями в одній і тій же точці простору (у точці В) у різні моменти часу τ1 і τ2 , які розділені проміжком τ. Іншими словами γ11(τ) описує часову когерентність. Інтерференційна картина, що спостерігається у точці С, обумовлена часовою когерентністю і видимість її інтерференційних смуг залежить від часу затримки τ = τс. У загальному випадку інтерференційні смуги спостерігаються при виконанні умови τс∆ν<1 (∆ν –ефективна спектральна ширина випромінювання, яка вимірюється по рівню половинної інтенсивності). Час запізнення
τс~∆ν -1 (2.2)
називається часовою когерентністю, а відповідна оптична довжина шляху ∆с=сτс –довжиною когерентності.
Припустимо, що на рис.1.а В1С=В2С, тоді τ1= τ2, а τ =0. Тоді вираз для нормованої функції взаємної когерентності прийме вид
γ12(0)=
‹ Е1(t)
Ė
2(t)›
/
.
Дана
функція описує кореляцію між світловими
коливаннями у двох різних точках в один
і той же момент часу. Тому кажуть, що
γ12(0)
характеризує просторову когерентність.
Просторова когерентність також приводить
до появи інтерференційної картини у
точці С, яскравість смуг якої залежить
від відстані між В1
і В2.
Взагалі, інтерференційна картина
спостерігається тоді, коли
бb<λеф;
b~
,
де b і А –лінійні розміри і площа поверхні випромінювання ДС, λеф –ефективна довжина хвилі квазімонохроматичного світла (∆λ<< λеф). Для отримання інтерференційної картини навколо точки С обидві щілини В1 і В2 повинні бути розташовані у площині екрана всередині деякого кола з діаметром dк=|В1В2|, площа якого дорівнює:
Sc~ (lб)2=l2 λеф2/b2=c2l2/νеф2А.
Величину S/c називають площею когерентності світла у площині екрана у межах кола діаметром dк=|В1В2|. Добуток
Vc=∆c Sc=cτ Sc~ λеф4l2/∆λA, (2.3)
що являє собою об’єм циліндра, площа основи якого дорівнює площі когерентності, а висота – довжині когерентності, називається об’ємом когерентності.
У загальному випадку не можна розділити ефекти просторової і часової когерентності, тобто записати вираз
γ12(τ)= γ11(τ) γ12(0)
внаслідок того, що функція Г12(τ) підпорядковується хвильовому рівнянню у вакуумі, яке викликає просторові і часові зміни величини Е. Однак існує такий клас оптичних полів, для яких вище вказаний вираз справедливий. Такі поля отримали назву взаємно спектрально чистих. За деяких припущень можемо показати, що часова когерентність визначається в основному степенем монохроматичності випромінювання ∆ν/ν0, а просторова – величиною кута розходження б світлового пучка. Тому можемо сказати, що повною часовою когерентністю володіють суворо монохроматичне світло, а повною просторовою когерентністю – суворо паралельний пучок світла.