- •5. Кривые второго порядка на плоскости
- •Задание 4.1
- •Задание 4.2
- •Задание 4.3
- •Задание 4.4
- •Задание 4.5
- •V. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
- •1. Производная. Правила дифференцирования
- •2. Таблица производных
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные высших порядков
- •5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически Говорят, что уравнение
- •6. Уравнения касательной и нормали
- •7. Дифференциал первого порядка
- •8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
Дифференциалом второго порядка d2f(x) функции называется дифференциал от дифференциала , где рассматривается как функция от x: d2f = d(df). Дифференциалом третьего порядка d3f называется дифференциал от второго дифференциала: d3f = d(d2f) и т.д.
Если переменная x является независимой, то d2x = d3x = … = 0. В этом случае , ,..., ,… Для краткости вместо (dx)n принято писать dxn; с учётом этого .
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в этой окрестности имеет производные до (n+1) -го порядка включительно (т.е. дифференцируема (n+1) раз), то справедлива формула Тейлора
,
где Rn+1 (x) – остаточный член, являющийся бесконечно малой величиной при x x0. Остаточный член обычно записывают в виде
,
в форме Пеано или в форме Лагранжа
,
где с – некоторое число между x0 и x. Формула Тейлора допускает и другую запись через дифференциалы
.
Формулу Тейлора применяют для приближенных вычислений.
Пример 10. С помощью формулы Тейлора найти приближённое значение sin 1 с точностью до 0,001.
Решение. Введём в рассмотрение функцию . Положив x0 = 0, получим
,
где 0 < c < 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа).
Имеем , , , , , …, . Для вычисления требуемого значения нужно взять n таким, чтобы , или
; .
Это неравенство достигается при n = 6, так как 7 = 5040 >1000. Поэтому
.
9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
Теорема 3. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в каждой точке некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0, и пусть . Если =0 или и существует , то .
Эта теорема, называемая правилом Лопиталя, применяется для раскрытия неопределённостей вида или .
Неопределённости вида или несложным алгебраическим преобразованием приводятся к неопределённостям вида или .
Неопределённости вида приводятся к неопределённости вида с помощью предварительного логарифмирования или тождества .
Пример 11. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) .
Решение. а) Первый способ. При x1 числитель и знаменатель стремятся к 0, поэтому имеем неопределённость вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Второй способ. Неопределённость можно раскрыть и с помощью формулы Тейлора. Обозначим , . Эти функции определены и дифференцируемы в окрестности точки x0 = 1. Имеем , , , , , . Согласно формуле Тейлора
с остаточным членом в форме Пеано, имеем
,
или
, .
Поэтому
.
б) Имеем неопределённость вида . В данном случае приходится трижды применять правило Лопиталя:
.
в) Имеем неопределённость вида . Обозначим. Тогда ,
.
Таким образом, , откуда, ввиду непрерывности логарифмической функции, , т. е. .
г) Воспользуемся тождеством , 0<x</2. Ввиду непрерывности показательной функции,