1.5. Модель задачи на максимум загрузки оборудования

Известно, что для решения задачи (1.1) - (1.6) требуется привести ее к каноническому виду, превратив основные ограничения (1.1) - (1.3) в строгие равенства. Это достигается введением в каждое из них дополнительных неотрицательных переменных. Получим

0,05х₁ + 0,5 х₂ + х₃ = 20000;

1,1х₁ + х₂ + х₄ = 180000;

0,225х₁ + 0,25х₂ + х₅ = 32000;

х₁  0;

х₂  0;

х₃  0;

х₄  0;

х₅  0;

0,25х₁ + 1,2 х₂  max.

Очевидно, что в случае использования ресурса целиком на добычу топлива дополнительное неизвестное равно нулю, в случае нулевой добычи - полному объему ресурса, т.е.

0  х₃  20000;

0  х₄  180000;

0  х₅  32000.

Таким образом, каждое из дополнительных неизвестных является ни чем иным как неиспользованным остатком ресурса соответствующего вида и измеряется в тех же единицах, что и данный ресурс.

Естественным образом возникает еще один вариант постановки задачи оптимального использования ресурсов, а именно на максимальное их использование для выпуска продукции (что достигается при минимуме суммарного неиспользованного остатка всех ресурсов). Критерием оптимальности в этом случае будет

х₃ + х₄+ х₅ min.

Однако ясно, что использование такой целевой функции возможно лишь в случае непосредственной соизмеримости ресурсов. Нельзя непосредственно складывать остатки трудовых (чел.-ч) и электроэнергетических (кВт-ч) ресурсов.

Представим себе, что в нашем примере ресурсами является станочный парк фрезерного, токарного и сверлильного оборудования, используемый нами для выпуска деталей двух видов. Тогда правые части ресурсных ограничений представляют собой полезные фонды времени работы оборудования соответствующего вида, измеряемые в станко-часах. Задача в такой постановке явится задачей загрузки невзаимозаменяемого оборудования, частным случаем рассматриваемой в данном параграфе задачи оптимального использования ресурсов. Невзаимозаменяемого, так как нормы затрат времени работы оборудования для каждой детали строго заданы и ни один вид оборудования не может заменить другой в случае, когда полезный фонд работы последнего исчерпан или хотя и есть, но его использование менее выгодно. В задаче загрузки невзаимозаменяемого оборудования возможно использование различных критериев, в том числе и рассмотренных ранее. Ведь ее отличие от более общей задачи оптимального использования ресурсов заключается в экономическом истолковании величин лимитов ресурсов b_i и норм их затрат a_ij .

Так как все дополнительные неизвестные также будут измеряться в станко-часах, то их сумма есть ни что иное, как совокупный неиспользованный остаток фонда времени работы оборудования всех видов. Вследствие различного экономического содержания основных и дополнительных переменных, последние при записи модели в общем виде целесообразно обозначить по иному:

y_i - неиспользованный остаток полезного фонда времени работы i-го оборудования.

Использование индекса i (i = 1,2,...,m), а не j ( j = n+1,..., n+m) вызвано тем, что количество дополнительных неизвестных совпадает с числом ограничений по ресурсам. Поясним также, что в задаче загрузки невзаимозаменяемого оборудования:

b_i - полезный фонд времени работы оборудования i-го вида;

a_ij - норма затрат времени работы i-го оборудования на производство единицы j-й продукции.

Запишем модель на максимум загрузки оборудования

Дополнение этой модели ограничениями по производственной программе вида

нецелесообразно, как и в задаче на максимум прибыли. Проще определить свободные остатки фондов работы оборудования после строгого выполнения плана

и решить задачу по отысканию значений сверхплановых выпусков х_j, максимизирующих загрузку свободных остатков оборудования

После чего значения исходных переменных х_j могут быть получены простым суммированием

Аналогично, как и в задаче на максимум прибыли, введение в модель ограничений по производственной программе целесообразно лишь при существовании нескольких способов производства одноименной продукции. Тогда оптимизация становится возможной не только за счет подбора значений сверхплановых выпусков, но и за счет выбора наилучших способов производства каждой продукции в рамках заранее заданных, фиксированных планов их выпуска.

Итак

Максимизация загрузки оборудования в подобной задаче возможна как за счет увеличения выпуска, так и за счет подбора для каждой продукции наиболее “станкоемкой” технологии s . Такой, в которой на единицу одной и той же j-й продукции тратится наибольшее количество часов работы оборудования. Т.е. такой, в которой один и тот же результат достигается с максимумом затрат. Если вспомнить, что решение задачи заключается в выборе неизвестных, а уж затем расчете их значений, то второй путь “оптимизации” неизбежно будет иметь место. Получается парадоксальная ситуация - стремление к наилучшему использованию ресурсов ведет к выбору наихудших способов производства продукции.

Указанный парадокс является примером характерных для экономической теории и практики случаев абсолютизации частных показателей хозяйственной деятельности, подмены конечных результатов производства промежуточными, нечеткого разграничения затрат и результатов. На самом деле не существует такой экономической цели как наиболее полное использование ресурсов (в том числе и оборудования). Это лишь средство, причем одно из многих, для получения большего объема продукции. Причем, как показано только что, средство не универсальное, а пригодное лишь в определенных условиях.

В рассмотренной выше модели задачи загрузки оборудования использование критерия на максимум загрузки может быть оправдано, ибо возможный выбор более “станкоемкой” продукции (но не технологии!) будет означать лишь выбор более сложной в изготовлении (а, следовательно, и более дорогой, как правило, по цене или более прибыльной) продукции. Здесь мы имеем частное проявление общей постановки задачи на максимум результата от использования ограниченного количества ресурсов. Результатом производства является выпущенная продукция и (или) обусловленные ее объемом и структурой результирующие показатели. Если же нам неизвестны потребительские качества выпускаемой продукции, ее прибыльность, себестоимость и т.п. или же (более реальный случай) мы можем в наших целях ими пренебречь (например, значения всех этих показателей достаточно близки для разных видов продукции), то результатом производства может служить выпуск продукции вообще. Но невозможность прямого соизмерения разнородной продукции заставляет искать косвенные способы этого, например, через затраты станочного времени. При введении в систему ограничений задачи загрузки оборудования условий по выполнению плана производства вида

общий смысл меняется. Теперь это уже одно из частных проявлений задачи на минимизацию затрат при достижении заданного результата. Правильный выбор наилучшего решения обеспечит в этом случае целевая функция вида

минимизирующая загрузку оборудования (т.е. максимизирующая недогрузку).

Наконец, рассмотрим постановку задачи загрузки невзаимозаменяемого оборудования с учетом технологических способов производства, но без плановых заданий по выпуску продукции. Ограничения модели будут выглядеть следующим образом:

Однако использование любого из двух вариантов критерия оптимальности на максимум (минимум) загрузки оборудования в данном случае неправомерно. Критерий

отберет в оптимальный план самые плохие способы производства продукции. А критерий

выберет в качестве оптимального план “ничего не производить”.