1.4. Модель задачи на максимум выпуска в заданном ассортиментном соотношении

Вернемся к условному примеру. Несколько изменим его интерпретацию, оставив те же числа. Пусть теперь это будет задача о добыче не торфа и угля, а железной руды и угля. В этом случае (как и в большинстве других) использование натуральных критериев оптимальности, подобных максимуму производства условного топлива, т.е. непосредственно соизмеряющих разнородную продукцию, невозможно. Соизмерение возможно лишь в стоимостных единицах (затраты, доход, цены и т.п.).

Однако оптимизационная постановка задачи возможна и без непосредственного соизмерения различной продукции. Пусть добыча железной руды и угля ориентирована исключительно на доменное производство, по условиям которого соотношение данных видов сырья при выплавке чугуна должно составлять 2:1. Следует отметить, что таким это соотношение будет как при нормах затрат руды и угля на одну тонну чугуна в 2 т и 1 т соответственно, так и, например, при нормах затрат 4 т и 2 т (использование более бедных руд и низкокачественного угля). Уточним также, что эти нормы должны учитывать стадию обогащения руды и коксового угля, так как в домну загружается железнорудный концентрат и кокс.

Таким образом, добыча сырья ведется в строго заданном ассортиментном соотношении, т.е. как бы комплектами, в каждый из которых входит 2 т железной руды и 1 т угля. Пусть добыча составила 50 тыс. т руды и 20 тыс. т угля (х₁=50000 и х₂=20000). Разделив значения переменных на ассортиментные коэффициенты, получим:

Первая из величин означает, что добытой руды хватит на 25 тыс. комплектов. Итого выпуск продукции в “комплектах” составит 20 тыс., т.е. он задается минимальной (по видам продукции) дробью. Если ассортиментные коэффициенты совпадают по величине с нормами затрат руды и угля на чугун (а не получены их сокращением, как при величине норм 4 и 2), то такого рода частные покажут, на сколько тонн чугуна может хватить добытой руды и угля. “Комплект” в этом случае представляет собой количество чугуна, который может быть выплавлен из добытого сырья.

Введем новое неизвестное z - искомое количество произведенных комплектов продукции. Тогда модель можно записать так:

z  max;

0,05х₁ + 0,5х₂  20000;

1,1х₁ + х₂  180000;

0,225х₁ + 0,25х₂  32000;

0,5х₁  z ; х₂  z;

х₁  0; х₂  0; z  0.

Это — модель на максимум комплектов. Новые ограничения 0,5х₁  z и х₂  z связывают новое неизвестное z с неизвестными х₁ и х₂ и являются условиями по формированию комплектов. Целевая функция вида z  max “гонит” вверх значение z до тех пор, пока оно не сравняется с левой частью какого-либо из ограничений по формированию комплектов.

Запишем модель в общем виде, дополнительно введя обозначения;

k_j - ассортиментный коэффициент j-й продукции, показывающий, какое количество продукции j-го вида входит в комплект.

Ассортиментное соотношение k₁ : k₂ :...: k_{n -1} : k_n задает пропорции выпуска всех видов продукции при любых значениях объемов производства.

Итак,

Теперь запишем ассортиментную модель в случае наличия нескольких способов производства одноименной продукции:

Введение в данную модель ограничений по плану выпуска отдельных видов продукции бесполезно. Если соотношение величин b₁: b₂:...: b_n согласуется с ассортиментным соотношением, заданным числами k_j , то выполнение ограничений по формированию комплектов автоматически обеспечивает выполнение ограничений по производственной программе.

Действительно, пусть соотношение величин плановых заданий b_j согласуется с ассортиментным соотношением, заданным числами k_j , т. е.

Любое из равных соотношений b_j  k_j является по своему смыслу запланированным количеством комплектов. В силу

если, конечно, плановые задания реальны, т.е. на их выполнение хватит выделенных ресурсов в объеме b_i . Так как

Умножив обе части, полученного выражения на k_j , запишем

т.е. условия по выполнению плана производства в данном случае получаются из условий по формированию комплектов.

Если же соотношение величин плановых заданий b_j не согласуется с ассортиментным соотношением, заданным числами k_j, т.е. b₁  k₁ b₂  k₂ ... b_n  k_n , то введение ограничений по производственной программе приводит к бесполезному расходу части ресурсов на чрезмерный выпуск некоторых видов продукции, а тем самым и к искусственному занижению количества выпущенных комплектов при одновременном излишке ненужной продукции.

Действительно, введем в нашем примере плана выпуска руды (b₁ = 100000) и угля (b₂ = 30000) при ассортиментном соотношении 2:1. Это приведет к полному израсходованию первого ресурса (оборотных средств фирмы), а, следовательно, и к выпуску продукции в строгом соответствии с планом, но не более, т.е. х₁ = b₁ и х₂ = b₂ . Отсюда количество произведенных комплектов определяется добычей угля и равно лишь 30000. А излишек в 40000 т произведенной руды не сможет сформировать дополнительное количество комплектов ввиду отсутствия излишков угля.

Напротив, корректировка планов выпуска до величин b₁ = 66666 и b₂ = 33333, (т.е. в соотношении 2:1) позволит дополнительно получить еще 3333 комплекта, улучшив тем самым наше предыдущее решение на 11,11%. Правда, нетрудно заметить, что убрав из модели ограничения по программе выпуска мы получим точно такое же оптимальное решение на уровне z=33333. Это говорит о бесполезности плановых заданий b_j в строгом соответствии с коэффициентами k_j .

Конечно, если уровень планов b_j задать на заведомо низком уровне, то их величина станет нам безразлична. Задав их пропорционально k_j (например, b₁ = 40000 и b₂ = 20000) или же с “перекосом” (например, b₁ = 45000 и b₂ = 15000), все равно получим последний вариант оптимального решения. В этом случае количество комплектов будет определяться не заданиями b_j, а объемами выпуска х_j , так как x_j  b_j .

Итак, ограничения по планам выпуска в ассортиментной задаче (задаче на максимум комплектов) не нужны, так как либо они бесполезны, либо вредны.

Область применения задач в ассортиментной постановке довольно широка. Во-первых, наиболее очевиден случай действительно комплектного выпуска продукции (например, выпуск гарнитуров на мебельной фабрике). Во-вторых, сюда же примыкает случай, при котором различная продукция не образует комплекты, но, тем не менее, по условиям производства выпуск возможен лишь в жестко зафиксированных пропорциях (например, комплексное обогащение многокомпонентной руды, содержащей несколько цветных металлов). Таким образом, здесь комплекты существуют лишь в модели. И в том и в другом случае комплектная постановка возможна по условиям производства. Однако она возможна и вследствие условий потребления продукции. Итак, в-третьих, при потреблении продукции нескольких видов не по отдельности, а комплектами, в задаче оптимизации ее производства также возможна ассортиментная постановка (именно таков рассмотренный выше пример с добычей руды и угля).

Наконец, в-четвертых, комплектная поставка может быть применена и в случае отсутствия как производства, так и потребления продукции комплектами. Достаточно лишь наличия желательных или директивно заданных жестких пропорций в общем объеме потребления. Так, например, холодильники разной емкости комплектами не производятся и не потребляются. Однако, исходя из общей структуры спроса на холодильники малого, среднего и большого объема, задача по оптимизации их производства может быть поставлена как задача на максимум комплектов. Ассортиментные коэффициенты будут заданы пропорционально структуре спроса. Следует оговорить, что задаваемое ассортиментное соотношение фиксировано для любых размеров производства, а реальные пропорции в потреблении различной продукции могут меняться в зависимости от размеров производства (потребления). Так для примера с холодильниками спрос на замену, характеризующийся большим удельным весом холодильников большой емкости, с ростом их производства может смениться спросом на дополнение (приобретение семьей второго холодильника в дополнение к первому), характеризующимся увеличением удельного веса малых.

В ряде случаев целесообразно учитывать ограничения комплектного типа и в моделях с иными (не на максимум комплектов) критериями оптимальности. Это может иметь место при отсутствии комплектов как таковых, но при одновременной обязательности или желательности учета определенных соотношений в выпуске продукции (ассортиментных соотношений). Например, при учете сложившегося спроса на продукцию в задаче на максимум прибыли от ее выпуска. Тогда возможно применение следующего приема. Один из видов продукции, например первый, принимается за “эталонный” и ассортиментные ограничения записываются следующим образом:

k_j x₁ - k₁ x_j = 0 ( j=2,3,...,n ),

обеспечивая выпуски продукции в строго заданных соотношениях, определяемых ассортиментными коэффициентами k_j .

Так как порядок нумерации зависит от нас, то любой вид продукции может быть первым, если это необходимо по каким-либо соображениям.

Ввиду отсутствия комплектов, данные коэффициенты показывают лишь соотношения в выпусках различных видов продукции. Разделив все k_j на k₁ , получим иную запись ассортиментных ограничений

w_j x ₁ - x_j = 0 ( j=2,3,...,n ),

где коэффициенты w_j показывают, какое количество j-й продукции должно выпускаться в расчете на одну единицу продукции первого вида. Соответственно w_j =k_j  k₁ , а w₁ =1.