- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения
зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения.
Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции .
Случай 1. Правая часть уравнения
,
где вещественное значение, многочлен m-й степени.
В этом случае частное решение уравнения ищется в виде
где многочлен m-й степени,
s степень кратности корня характеристического уравнения .
Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0.
Пример 7. 25. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет один корень кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. . Данное значение не является корнем характеристического уравнения (следовательно, его кратность s = 0). В этом случае частное решение ищется в виде . Находим производные и подставляем их в исходное уравнение
.
Делим это уравнение на , имеем . Отсюда .
Записываем частное решение и общее решение
.
Пример 7. 26. Решить уравнение .
Общее решение неоднородного уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .
Найдем общее решение однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение .
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде
,
где показатель степени в функции равен = 0. Это значение совпадает с корнем характеристического уравнения , т. е. является его корнем кратности s = 1. Поэтому частное решение нужно искать в виде
.
Находим производные этой функции и подставляем их в исходное уравнение. Получаем
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х ( и ) в левой и правой частях уравнения
Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B
Отсюда , . Записываем частное решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
,
где и вещественные значения,
и многочлены степени и соответственно.
В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
,
многочлены степени ,
s кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом в показателе степени в функции правой части уравнения. Если в не совпадает с , то s = 0.
Пример 7. 27. Решить уравнение .
Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Ищем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. = 0. Значение = 0 не совпадает с реальной частью корней характеристического уравнения , поэтому s = 0. Частное решение необходимо искать в виде
,
где А и В постоянные величины.
Находим производные , подставляем их в исходное неоднородное уравнение
.
Приравниваем коэффициенты при sinx и cosx в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.
, .
Записываем частное решение
и общее решение
.