- •Глава 7. Дифференциальные уравнения
- •7.1. Общие понятия
- •7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка
- •7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •7. 5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями)
- •7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •7.7. Уравнение Бернулли
- •7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах
- •7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •7. 10. Дифференциальное уравнение вида
- •7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка
- •7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений
- •7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского
- •7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка
- •7.15. Комплексные числа и действия над ними
- •Действия над комплексными числами
- •7.16. Показательная функция с комплексным показателем
- •7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
- •7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами
- •7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений
7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
В формуле , где x и y действительные числа, примем х = 0. Получим формулу
,
которая называется формулой Эйлера.
Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме
,
где r – модуль комплексного числа, а его аргумент.
Если в этой формуле Эйлера заменить y на y, тогда получим .
Решим систему
относительно cosy, siny. Сложим и вычтем уравнения, получим
.
Отсюда следуют формулы
.
7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е.
,
где линейно независимые решения однородного уравнения;
произвольные постоянные;
частное решение исходного неоднородного уравнения.
В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид
,
где постоянные величины.
Частные решения однородного уравнения ищут в виде
.
Производные этой функции равны
.
Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение
.
Делим это уравнение на , получаем уравнение
.
Данное уравнение называется характеристическим.
Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n-ой степени относительно . Любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.
Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.
Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные.
В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений
.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
или
,
где произвольные постоянные.
Пример 7. 22. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни . Имеем два частных решения , . Записываем общее решение
.
Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где .
Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения
,
.
Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или .
Пример 7. 23. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Находим его корни , где . Уравнение имеет два частных линейно независимых решения
.
Записываем общее решение
или .
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень кратности k.
Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 7. 24. Найти общее решение уравнения .
Составляем характеристическое уравнение
.
Оно имеет действительный корень кратности k = 2. Ему соответствует два линейно независимых частные решения .
Общее решение .
Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k.
Тогда этим корням соответствует 2k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид
.
Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
или
Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
.
Уравнение имеет два корня кратности k = 2.
Общее решение уравнения имеет вид
.