5.8. Несобственные интегралы от разрывных функций, неограниченных в точках разрыва

Если функция непрерывная на промежутке имеет точку разрыва при , то интегралом от этой функции на отрезке называется предел вида

.

Если подынтегральная функция имеет точку разрыва в левой граничной точке отрезка , то

.

Если точка разрыва подынтегральной функции является внутренней точкой отрезка , то

, .

Несобственный интеграл от разрывной функции называется сходящимся, если существуют конечные пределы в определении этого интеграла. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Рис. 62

Геометрически несобственный интеграл от разрывной функции представляет площадь криволинейной трапеции незамкнутой в точке разрыва (рис. 62).

Пример 5. 11. Исследовать на сходимость интеграл .

Подынтегральная функция имеет точку разрыва при , поэтому

. Интеграл сходится, равен 2.

Если первообразная функция для подынтегральной разрывной функции непрерывна на отрезке интегрирования, то интеграл будет сходиться.

Пример 5. 12. Исследовать на сходимость интеграл .

Подынтегральная функция имеет точку разрыва при .

.

Интеграл расходится.

5.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций

Теорема 5.5. Если функции и имеют на отрезке единственную общую точку разрыва , принадлежащую этому отрезку и если , то если сходится, то и сходится; если же расходится, то расходится.

Теорема 5.6. Если функция имеет на отрезке единственную точку разрыва, в которой она неограниченна, то

если интеграл сходится, то интеграл также сходится.

Пример 5.13. Исследовать сходимость интеграла .

Подынтегральная функция имеет точку разрыва при . Для любого значения справедливо неравенство . Так как интеграл сходится, то (по теореме 5.4) исходный интеграл также сходится.

5.10. Геометрические приложения определенных интегралов

5.10.1. Вычисление площадей фигур

Используем геометрический смысл определенного интеграла.

Рис. 63

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 63). Пусть . Тогда площадь фигуры можно найти по формуле .

В частном случае, если криволинейная трапеция ограничена сверху функцией , а снизу осью Ох (уравнение y = 0), то

.

Рис. 64

Если функции пересекаются в точке , так, что при , а при (рис. 64), то .

Пример 5.14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , (рис. 65).

Рис.65

Построим параболу. Точки пересечения с осью Ох: , , . При . Найдем вершину параболы: . , , .

Найдем точки пересечения параболы с прямой: 

, , , , .

При и парабола расположена выше прямой, т. е.

, . При наоборот ,

.

Находим

.

Рис. 66

Если фигура ограничена графиками функций , , (рис. 66), то .