Определение определенного интеграла

Определенным интегралом функции непрерывной на отрезке называется предел интегральной суммы при стремлении числа элементарных отрезков к бесконечности, а длины наибольшего из них к нулю, т.е.

.

5.3. Взаимосвязь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона - Лейбница

Неопределенный интеграл равен , где С = const,

F(x) – первообразная функция.

Рис. 59

Ранее было показано, что одной из первообразных функций является площадь криволинейной трапеции с переменной правой граничной прямой. По геометрическому смыслу определенный интеграл также равняется площади криволинейной трапеции, т. е. (рис. 59).

При . Тогда . Отсюда .

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

5.4. Свойства определенного интеграла

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем определение определенного интеграла и свойства пределов

.

Свойство 2. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так же используем определение определенного интеграла и свойства пределов

=

.

Свойство 3. При перестановке пределов интегрирования интеграл изменяет знак, т. е.

.

Для доказательства используем формулу Ньютона-Лейбница.

.

Свойство 4. Любой определенный интеграл можно разбить на сумму двух интегралов, если подынтегральная функция непрерывна в пределах интегрирования, т. е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

.

Свойство 5. Если для любого х на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По геометрическому смыслу определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху кривой на отрезке , включает в свой состав криволинейную трапецию, ограниченную сверху кривой . Поэтому в таком же соотношении находятся определенные интегралы.

Свойство 6. Если m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то по предыдущему свойству

.

Свойство 7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такая точка , принадлежащая , что

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего m и наибольшего М значений. Поэтому

.

Поделим это равенство на b  a, получим .

Функция непрерывная на принимает любое значение между наименьшим m и наибольшим М значениями и, следовательно, в некоторой точке принимает значения, равное . Откуда получаем .

Рис. 60

Геометрически это означает, что для любой криволинейной трапеции на отрезке , ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции, найдется равновеликий прямоугольник высота которого заключена между наименьшим m и наибольшим М значениями функции (рис. 60).