3.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных

Для функции частными приращениями по х и по y называется соответственно

,

.

Частной производной функции нескольких переменных по некоторой переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению переменной, стремящемуся к нулю, т. е.

,

.

Для функции не имеют смысла записи или .

Не существует просто производная функции , а существуют только частные производные по х и по y, обозначаемые и .

Можно сформулировать следующее правило нахождения частных производных функций нескольких переменных. Для того чтобы найти частную производную функции нескольких переменных по некоторой переменной, необходимо все независимые переменные функции кроме данной считать постоянными и найти производную как от функции одной переменной.

Пример 3.5. Найти частные производные функции .

Когда ищем производную по х, считаем y постоянной, т. е. можно вынести множитель за знак дифференцирования. .

Когда находим частную производную по y, то считаем постоянной.

.

Пример 3.6. Найти частные производные функции .

При нахождении производной по х переменной является х, а y является постоянной, поэтому производная ищется как от степенной функции (по формуле ). Находим .

Когда находим производную по y, то постоянной является х и производная ищется как от показательной функции (по формуле ).

Находим .

Пример 3.7. Найти частные производные функции .

Здесь в основании стоит не просто х, а tg3x, поэтому необходимо находить частную производную по х как от сложной функции

.

Так же частная производная по y находится как производная сложной функции

.

Пример 3.8. Найти эластичность функции Кобба-Дугласа по независимым переменным K и L.

Используем определение эластичности функции одной переменной . Находим .

3.6.1. Геометрический смысл частных производных

Пусть , , .

Рис. 47

Частная производная функции по x в точке равняется тангенсу угла наклона касательной, проведенной к линии, образованной пересечением поверхности плоскостью в точке .

7. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

,

где А, В – постоянные величины, x, y – приращения независимых переменных, (x, y), (x, y) – бесконечно малые функции по сравнению с x, y.

3.8. Необходимые условия дифференцируемости

функции нескольких переменных

Теорема 3.2. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, функция является непрерывной, если . Найдем

.

Следовательно, непрерывная.

Теорема 3.3. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дифференцируемая.

Если y = const, то y = 0. Тогда .

Если x = const, то x = 0. Тогда

.

Утверждения, обратные утверждениям теорем 3.2 и 3.3, вообще говоря, неверны. Не дифференцируемыми могут быть функции нескольких переменных, которые являются непрерывными или которые имеют конечные частные производные. Приведем примеры.

Пример 3.9. Функция непрерывна в точке О(0,0). Покажем, что она не является дифференцируемой. в этой точке, от противного. Если бы она была дифференцируемой, то имела бы частные производные в этой точке (теорема 3.2). Покажем, что частные производные в точке О(0,0) не существуют.

Следовательно, не существует. Аналогично получаем, что также не существует.

Пример 3.10. Покажем, что функция имеет частные производные в точке O(0, 0), но не является дифференцируемой.

Находим , . Следовательно, частные производные функции в начале координат существуют.

Покажем, что функция не является непрерывной в начале координат. Найдем предел этой функции при (точка M(x, y) стремится к началу координат O(0, 0) по биссектрисе координатного угла)

.

Однако, заданная функция в точке O(0, 0) принимает значение равное нулю , не равняется предельному значению, равному 1. Функция не является непрерывной, а следовательно не является дифференцируемой.

Пример 3.11. Покажем, что функция является не дифференцируемой.

Данная функция является непрерывной в точке O(0, 0), так как

.

Также эта функция имеет частные производные в точке O(0, 0):

,

.

Однако, невозможно приращение функции представить в виде линейного выражения относительно и как это требуется для дифференцируемости функции. Следовательно, функция не дифференцируемая.