2.1.9. Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной

(n1)- го порядка.

Для того, чтобы найти производную n-го порядка функции , необходимо найти несколько производных (первого, второго, третьего порядка и т. д.), уяснить закономерность их образования в зависимости от порядка n и записать .

Пример 2.2. Найти производные n-го порядка для функций: , и .

1. .

2. , , , …, .

3. , , ,

= =

= .

При нахождении производной n-го порядка функции , заданной параметрически, т.е.

необходимо, чтобы функция имела обратную функцию .

Ранее была получена формула для нахождения производной первого порядка функции данного вида

или .

Найдем производную второго порядка.

.

Используем формулу производной частного, получаем

или

.

Аналогично можно получить производные более высокого порядка.

Пример 2.3. Найти производную второго порядка функции , заданной параметрически,

Данная система представляет параметрическую запись уравнения кривой, называемой циклоидой.

Находим ,

.

2.1.10. Эластичность функции

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной при , т. е.

.

Ввиду того, что эластичность можно записать в виде .

Если обозначить темп роста функции через , то .

Функция называется эластичной, если , неэластичной, если и нейтральной, если .

2.1.11. Геометрический смысл эластичности

Ввиду того, что производная функции равняется тангенсу угла наклона касательной, формулу для вычисления эластичности можно преобразовать.

,

где АМ и ВМ – расстояния по касательной от точки касания до пересечения с осями координат Ох и Оy соответственно (рис. 19, рис. 20).

Эластичность функции в точке M (x, y) равна отношению расстояний по касательной от этой точки до осей координат Оy и Оx соответственно.

Если точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по одну сторону от этой точки, то эластичность функции в этой точке является положительной величиной. Если же точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по разные стороны от этой точки, то эластичность функции в этой точке является отрицательной величиной.

Рис. 19

Рис. 20

2.1.12. Экономический смысл эластичности

Приближенно можно записать

.

Если , то .

Эластичность определяет процент относительного изменения функции при изменении относительной величины независимой переменной на 1%.

2.1.13. Свойства эластичности функции

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Получим формулы для эластичности суммы, произведения, частного и обратной функции.

1. .

2. .

3. .

4. .

Пример 2.4. Найти эластичность спроса D (объема продаж) от цены p, если: 1) ; 2) .

1. . . .

Это значит, что спрос нейтрален к предложению. Если цена возрастает на 1%, то спрос уменьшается на 1%. Если же цена уменьшается на 1%, то спрос возрастает на 1%.

2. . . . Это значит, что спрос эластичен. Если цена возрастает (убывает) на 1%, то объем продаж уменьшается (возрастает) на 2%.

Пример 2.5. Найти значения цены p, при которых спрос будет эластичен, если , , k – известные постоянные.

.

Спрос будет эластичен, если , т. е. если цена p будет больше .

Пример 2.6. Найти изменение выручки I(p) с увеличением цены p на товар при различной эластичности спроса.

Выручка равняется произведению объема продаж D(p) на цену товара p, т. е. I(p) = D(p) p. Найдем производную

.

Если , то и выручка убывает.

Если , то и выручка не изменяется.

Если , то и выручка увеличивается.