2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба

Теорема 2.9. Если точка является точкой перегиба графика функции , то производная функции второго порядка в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возможны два случая: производная второго порядка непрерывная и не существует (не ограничена).

1. Пусть точка является точкой перегиба, причем в этой точке выпуклость меняется на вогнутость (рис. 38). Если производная второго порядка в точке непрерывна, то она непрерывна и в ее -окрестности . По предположению график функции в интервале выпуклый, тогда. В интервале график функции вогнутый, тогда . Следовательно, в точке .

2. Пусть имеется функция . Ее производные первого и второго порядка равны и . При , а точка х = 0 является точкой перегиба (рис. 39).

Рис. 38

Рис. 39

Точки, в которых либо равняется нулю, либо не существует, называются критическими для производной второго порядка.

2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба

Теорема 2.10. Если в окрестности критической точки функция является непрерывной, а так же дважды дифференцируемой в этой окрестности, за исключением быть может самой точки, и при переходе х через производная второго порядка изменяет знак, то является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в -окрестности точке функция удовлетворяет условиям теоремы, а производная второго порядка изменяет знак с « + » на «  ». Тогда график функции на интервале вогнутый, а на интервале выпуклый и точка является точкой перегиба.

Пример 2.22. Найти точки перегиба графика функции .

Р е ш е н и е. Находим производную функции второго порядка.

, . Приравняем эту производную к нулю . Найдем критические точки . На числовой прямой определяем знаки положительности, отрицательности производной второго порядка на интервалах, на которые критические точки делят всю числовую прямую (рис. 40). Так как при переходе через критические точки изменяет знак, эти точки являются точками перегиба графика функции. Находим значения функции в точках перегиба.

. При х = 0 . При .

Построим график этой функции (рис. 41).

Рис. 40

Рис. 41

2.5.10. Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении их в бесконечность.

Кривая может иметь вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут существовать только в точках разрыва функции . Чтобы определить, имеется ли вертикальная асимптота в точке разрыва функции необходимо найти односторонние пределы

.

Рис. 42

Наклонные асимптоты ищут в виде . В соответствии с определением асимптоты должен равняться нулю предел разности ординат функций и при , т. е. или (рис. 42) .

В этом пределе вынесем за скобки х, получим . Так как , то , а . Отсюда получаем формулу для нахождения углового коэффициента асимптоты . Если этот предел существует, то можно искать отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Из равенства находим .

Таким образом, чтобы найти наклонную асимптоту, необходимо сначала найти ее угловой коэффициент k, а затем, если он существует, искать отрезок b. График функции имеет асимптоту только тогда, когда k и b принимают конечные значения. Необходимо так же иметь в виду, что для одной и той же функции значения k и b могут различаться в зависимости от того к какой бесконечности стремится х, или , или .

Пример 2.23. Найти асимптоты графика функции .

Вертикальные асимптоты могут быть в точках и .

Находим односторонние пределы.

; ;

Здесь использованы условные записи: «0»  бесконечно малая отрицательная функция, а «+0»  бесконечно малая положительная функция. Запись «20» означает, что х стремится к 2 слева, а «2+0» означает, что х стремится к 2 справа. Аналогичные записи в следующих пределах.

; .

Следовательно, график функции имеет две асимптоты х = 2 и х = +2.

Ищем наклонные асимптоты. .

. Асимптота .